determine o vetor gradiente da função f (x,y,z)= x^2+y^2- 2z^2= zlnx no ponto (1,1,1)

Para determinar o vetor gradiente da função \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 2z^2 - z \ln x \), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \), \( y \) e \( z \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - \frac{z}{x} \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \] 3. Derivada parcial em relação a \( z \): \[ f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = -4z - \ln x \] Agora, avaliamos essas derivadas no ponto \( (1, 1, 1) \): - Para \( f_x \): \[ f_x(1, 1, 1) = 2(1) - \frac{1}{1} = 2 - 1 = 1 \] - Para \( f_y \): \[ f_y(1, 1, 1) = 2(1) = 2 \] - Para \( f_z \): \[ f_z(1, 1, 1) = -4(1) - \ln(1) = -4 - 0 = -4 \] Assim, o vetor gradiente \( \nabla f \) no ponto \( (1, 1, 1) \) é: \[ \nabla f(1, 1, 1) = (f_x, f_y, f_z) = (1, 2, -4) \] Portanto, o vetor gradiente da função no ponto \( (1, 1, 1) \) é \( (1, 2, -4) \).