Qual o volume gerado quando a area entre o eixo x e o traçado de y=2x²-x³gira em torno do eixo x

Para encontrar o volume gerado pela rotação da área entre o eixo x e a curva \(y = 2x^2 - x^3\) em torno do eixo x, você pode usar o método dos discos. O volume \(V\) é dado pela fórmula: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] onde \(f(x) = 2x^2 - x^3\) e \(a\) e \(b\) são os limites de integração, que são os pontos onde a curva cruza o eixo x. 1. Encontrar os pontos de interseção: Para isso, igualamos \(y\) a zero: \[ 2x^2 - x^3 = 0 \] Fatorando, temos: \[ x^2(2 - x) = 0 \] Portanto, \(x = 0\) e \(x = 2\) são os limites de integração. 2. Calcular o volume: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (2x^2 - x^3)^2 \, dx \] 3. Expandir a função: \[ (2x^2 - x^3)^2 = 4x^4 - 4x^5 + x^6 \] 4. Integrar: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (4x^4 - 4x^5 + x^6) \, dx \] \[ = \pi \left[ \frac{4}{5}x^5 - \frac{4}{6}x^6 + \frac{1}{7}x^7 \right]_{0}^{2} \] 5. Substituir os limites: \[ = \pi \left[ \frac{4}{5}(2^5) - \frac{4}{6}(2^6) + \frac{1}{7}(2^7) \right] \] \[ = \pi \left[ \frac{4}{5}(32) - \frac{4}{6}(64) + \frac{1}{7}(128) \right] \] \[ = \pi \left[ \frac{128}{5} - \frac{256}{3} + \frac{128}{7} \right] \] 6. Calcular o resultado final (você pode usar um calculador para simplificar essa parte). Assim, o volume gerado pela rotação da área em torno do eixo x é dado pela expressão acima.