Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada, \(2xydx + (x^2 - 1)dy = 0\), podemos reescrevê-la na forma separável: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{x^2 - 1} \] Agora, vamos separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y} = -\frac{2x}{x^2 - 1}dx \] Integrando ambos os lados, temos: \[ \int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{x}{x^2 - 1}dx \] A integral do lado esquerdo resulta em \(\ln |y|\). Para o lado direito, podemos usar a substituição \(u = x^2 - 1\), o que nos dá: \[ \int \frac{x}{x^2 - 1}dx = \frac{1}{2} \ln |x^2 - 1| + C \] Assim, a solução geral da EDO é: \[ \ln |y| = -\ln |x^2 - 1| + C \] Exponenciando ambos os lados, obtemos: \[ y = \frac{C}{x^2 - 1} \] Agora, vamos analisar as alternativas dadas: A) \(f(x,y) = xy - y + c\) B) \(f(x,y) = x^2y - y + c\) C) \(f(x,y) = y - xy + c\) D) \(f(x,y) = (x^2 - 1)y - y + c\) Nenhuma das alternativas parece corresponder diretamente à forma que encontramos. No entanto, a alternativa D pode ser reescrita como: \[ (x^2 - 1)y - y + c = (x^2 - 1 - 1)y + c = (x^2 - 2)y + c \] Isso sugere que a alternativa D pode estar relacionada à solução que encontramos, mas não é exatamente a mesma. Portanto, a alternativa que mais se aproxima da solução da EDO é a D) \(f(x,y) = (x^2 - 1)y - y + c\).