Encontre a função de transferência dos seguintes sistemas: a- Y''(t)+3y'(t) + 2y(t) =x(t)

Para encontrar a função de transferência do sistema dado pela equação diferencial \( Y''(t) + 3Y'(t) + 2Y(t) = X(t) \), siga os passos abaixo: 1. Transformada de Laplace: Aplique a Transformada de Laplace na equação, lembrando que \( Y(s) \) é a transformada de \( y(t) \) e \( X(s) \) é a transformada de \( x(t) \). As derivadas se transformam da seguinte forma: - \( Y''(t) \) se torna \( s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \) - \( Y'(t) \) se torna \( sY(s) - y(0) \) 2. Substituição: Substitua as transformadas na equação: \[ s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 3(sY(s) - y(0)) + 2Y(s) = X(s) \] 3. Reorganização: Agrupe os termos que contêm \( Y(s) \): \[ (s^2 + 3s + 2)Y(s) - sy(0) - y'(0) - 3y(0) = X(s) \] 4. Isolamento de \( Y(s) \): \[ Y(s) = \frac{X(s) + sy(0) + y'(0) + 3y(0)}{s^2 + 3s + 2} \] 5. Função de Transferência: A função de transferência \( H(s) \) é dada pela razão entre a saída e a entrada, considerando condições iniciais nulas (ou seja, \( y(0) = 0 \) e \( y'(0) = 0 \)): \[ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \] Portanto, a função de transferência do sistema é: \[ H(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \]