Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dt} = y - t - 1 \) usando o método de Euler, com a condição inicial \( y(0) = 1 \), intervalo \([0, 0.3]\) e passo \( \Delta t = 0.1 \), seguimos os seguintes passos: 1. Definindo os parâmetros: - \( t_0 = 0 \) - \( y_0 = 1 \) - \( \Delta t = 0.1 \) - Número de passos: \( n = \frac{0.3 - 0}{0.1} = 3 \) 2. Fórmula do método de Euler: \[ y_{n+1} = y_n + f(t_n, y_n) \cdot \Delta t \] onde \( f(t, y) = y - t - 1 \). 3. Cálculos passo a passo: - Passo 0: - \( t_0 = 0 \) - \( y_0 = 1 \) - \( f(t_0, y_0) = 1 - 0 - 1 = 0 \) - \( y_1 = y_0 + f(t_0, y_0) \cdot \Delta t = 1 + 0 \cdot 0.1 = 1.0000 \) - Passo 1: - \( t_1 = 0.1 \) - \( y_1 = 1.0000 \) - \( f(t_1, y_1) = 1 - 0.1 - 1 = -0.1 \) - \( y_2 = y_1 + f(t_1, y_1) \cdot \Delta t = 1.0000 - 0.1 \cdot 0.1 = 1.0000 - 0.0100 = 0.9900 \) - Passo 2: - \( t_2 = 0.2 \) - \( y_2 = 0.9900 \) - \( f(t_2, y_2) = 0.9900 - 0.2 - 1 = -0.2100 \) - \( y_3 = y_2 + f(t_2, y_2) \cdot \Delta t = 0.9900 - 0.2100 \cdot 0.1 = 0.9900 - 0.0210 = 0.9690 \) - Passo 3: - \( t_3 = 0.3 \) - \( y_3 = 0.9690 \) - \( f(t_3, y_3) = 0.9690 - 0.3 - 1 = -0.3310 \) - \( y_4 = y_3 + f(t_3, y_3) \cdot \Delta t = 0.9690 - 0.3310 \cdot 0.1 = 0.9690 - 0.0331 = 0.9359 \) 4. Resultados finais: - \( y(0) = 1.0000 \) - \( y(0.1) = 1.0000 \) - \( y(0.2) = 0.9900 \) - \( y(0.3) = 0.9359 \) Portanto, a solução aproximada da equação diferencial usando o método de Euler é: - \( y(0) = 1.0000 \) - \( y(0.1) = 1.0000 \) - \( y(0.2) = 0.9900 \) - \( y(0.3) = 0.9359 \)