Para determinar a direção de crescimento máximo da função \( f(x, y, z) = x^3yz^3 - 3e^{2x} - 2e^{3y} + 5e^{7z} \) no ponto \( (1, 3, -2) \), precisamos calcular o gradiente da função \( \nabla f \) e avaliá-lo nesse ponto. 1. Calcule as derivadas parciais: - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2yz^3 - 6e^{2x} \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x^3z^3 - 6e^{3y} \) - \( f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = 3x^3yz^2 + 35e^{7z} \) 2. Avalie as derivadas parciais no ponto \( (1, 3, -2) \): - \( f_x(1, 3, -2) = 3(1)^2(3)(-2)^3 - 6e^{2(1)} = 3(1)(3)(-8) - 6e^2 = -72 - 6e^2 \) - \( f_y(1, 3, -2) = (1)^3(-2)^3 - 6e^{3(3)} = -8 - 6e^9 \) - \( f_z(1, 3, -2) = 3(1)^3(3)(-2)^2 + 35e^{7(-2)} = 3(1)(3)(4) + 35e^{-14} = 36 + 35e^{-14} \) 3. Forme o gradiente: \[ \nabla f(1, 3, -2) = \left( -72 - 6e^2, -8 - 6e^9, 36 + 35e^{-14} \right) \] 4. A direção de crescimento máximo é dada pela direção do gradiente. 5. Calcule a taxa máxima de variação: A taxa máxima de variação é a magnitude do gradiente: \[ \|\nabla f(1, 3, -2)\| = \sqrt{(-72 - 6e^2)^2 + (-8 - 6e^9)^2 + (36 + 35e^{-14})^2} \] Assim, a direção de crescimento máximo é a direção do vetor \( \nabla f(1, 3, -2) \) e a taxa máxima de variação é a magnitude desse vetor.