Determine o valor da integral I = ∫ 1 −1 ∫ 3 2 x2 sin(y) dx dy

Para resolver a integral \( I = \int_{-1}^{1} \int_{2}^{3} x^2 \sin(y) \, dx \, dy \), vamos calcular passo a passo. 1. Calcular a integral interna em relação a \( x \): \[ \int_{2}^{3} x^2 \sin(y) \, dx \] Como \( \sin(y) \) é uma constante em relação a \( x \), podemos fatorá-la para fora da integral: \[ \sin(y) \int_{2}^{3} x^2 \, dx \] 2. Calcular a integral de \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Avaliando de 2 a 3: \[ \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3} \] 3. Substituir na integral interna: \[ \int_{2}^{3} x^2 \sin(y) \, dx = \sin(y) \cdot \frac{19}{3} \] 4. Agora, calcular a integral externa em relação a \( y \): \[ I = \int_{-1}^{1} \left( \sin(y) \cdot \frac{19}{3} \right) dy = \frac{19}{3} \int_{-1}^{1} \sin(y) \, dy \] 5. Calcular a integral de \( \sin(y) \): \[ \int \sin(y) \, dy = -\cos(y) \] Avaliando de -1 a 1: \[ \left[ -\cos(y) \right]_{-1}^{1} = -\cos(1) - (-\cos(-1)) = -\cos(1) + \cos(1) = 0 \] 6. Portanto, o valor da integral \( I \) é: \[ I = \frac{19}{3} \cdot 0 = 0 \] Assim, o valor da integral \( I \) é 0.