Para que os vetores resultantes das operações sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. Vamos primeiro calcular os vetores resultantes das operações. Os vetores dados são: - \( a = (2, 1, m) \) - \( b = (m+2, -5, 2) \) - \( c = (2m, 8, m) \) Primeiro, vamos calcular \( a + b \): \[ a + b = (2 + (m + 2), 1 + (-5), m + 2) = (m + 4, -4, m + 2) \] Agora, vamos calcular \( a + c \): \[ a + c = (2 + 2m, 1 + 8, m + m) = (2 + 2m, 9, 2m) \] Agora, precisamos que o produto escalar entre \( a + b \) e \( a + c \) seja igual a zero: \[ (m + 4)(2 + 2m) + (-4)(9) + (m + 2)(2m) = 0 \] Expandindo isso: 1. \( (m + 4)(2 + 2m) = 2m + 2m^2 + 8 + 8m = 2m^2 + 10m + 8 \) 2. \( -4 \cdot 9 = -36 \) 3. \( (m + 2)(2m) = 2m^2 + 4m \) Agora, somando tudo: \[ 2m^2 + 10m + 8 - 36 + 2m^2 + 4m = 0 \] \[ 4m^2 + 14m - 28 = 0 \] Dividindo toda a equação por 2: \[ 2m^2 + 7m - 14 = 0 \] Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de \( m \): \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14)}}{2 \cdot 2} \] \[ = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 112}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{161}}{4} \] Assim, os valores de \( m \) que tornam os vetores ortogonais são: \[ m = \frac{-7 + \sqrt{161}}{4} \quad \text{ou} \quad m = \frac{-7 - \sqrt{161}}{4} \] Agora, você deve verificar as alternativas fornecidas para encontrar a correta. Se precisar de ajuda com as alternativas, é só me avisar!