Para calcular a integral da função \( f(x) = x^2 + 3 \) no intervalo \([1, 3]\) utilizando integração numérica com \( n = 10 \), podemos usar o método do trapézio ou a regra de Simpson. Vou demonstrar o método do trapézio. 1. Divisão do intervalo: O intervalo \([1, 3]\) é dividido em 10 subintervalos. O comprimento de cada subintervalo é: \[ h = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = 0,2 \] 2. Cálculo dos pontos: Os pontos \( x_i \) são: \[ x_0 = 1, \quad x_1 = 1,2, \quad x_2 = 1,4, \quad x_3 = 1,6, \quad x_4 = 1,8, \quad x_5 = 2,0, \quad x_6 = 2,2, \quad x_7 = 2,4, \quad x_8 = 2,6, \quad x_9 = 2,8, \quad x_{10} = 3 \] 3. Cálculo dos valores da função: \[ f(x_0) = 1^2 + 3 = 4 \] \[ f(x_1) = (1,2)^2 + 3 = 4,44 \] \[ f(x_2) = (1,4)^2 + 3 = 4,96 \] \[ f(x_3) = (1,6)^2 + 3 = 5,56 \] \[ f(x_4) = (1,8)^2 + 3 = 6,24 \] \[ f(x_5) = (2,0)^2 + 3 = 7 \] \[ f(x_6) = (2,2)^2 + 3 = 7,84 \] \[ f(x_7) = (2,4)^2 + 3 = 8,76 \] \[ f(x_8) = (2,6)^2 + 3 = 9,76 \] \[ f(x_9) = (2,8)^2 + 3 = 10,84 \] \[ f(x_{10}) = 3^2 + 3 = 12 \] 4. Aplicando a fórmula do trapézio: \[ I \approx \frac{h}{2} \left( f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right) \] \[ I \approx \frac{0,2}{2} \left( 4 + 2(4,44 + 4,96 + 5,56 + 6,24 + 7 + 7,84 + 8,76 + 9,76 + 10,84) + 12 \right) \] \[ I \approx 0,1 \left( 4 + 2(70,4) + 12 \right) \] \[ I \approx 0,1 \left( 4 + 140,8 + 12 \right) = 0,1 \times 156,8 = 15,68 \] 5. Cálculo do erro relativo: O valor exato da integral é \( \frac{44}{3} \approx 14,67 \). O erro relativo é dado por: \[ \text{Erro Relativo} = \left| \frac{I - I_{\text{exato}}}{I_{\text{exato}}} \right| = \left| \frac{15,68 - \frac{44}{3}}{\frac{44}{3}} \right| \] \[ \text{Erro Relativo} \approx \left| \frac{15,68 - 14,67}{14,67} \right| \approx \left| \frac{1,01}{14,67} \right| \approx 0,0688 \text{ ou } 6,88\% \] Portanto, o valor aproximado da integral é \( 15,68 \) e o erro relativo em relação ao valor exato é aproximadamente \( 6,88\% \).