Para resolver a equação não linear \( f(x) = x^2 + \sin(x) - 1 = 0 \) usando o método de Newton-Raphson, precisamos da derivada da função: 1. Definindo a função e sua derivada: - \( f(x) = x^2 + \sin(x) - 1 \) - \( f'(x) = 2x + \cos(x) \) 2. Aplicando o método de Newton-Raphson: A fórmula do método é: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] 3. Iniciando com \( x_0 = 0,5 \): - Calcule \( f(0,5) \) e \( f'(0,5) \): \[ f(0,5) = 0,5^2 + \sin(0,5) - 1 \approx 0,25 + 0,4794 - 1 \approx -0,2706 \] \[ f'(0,5) = 2(0,5) + \cos(0,5) \approx 1 + 0,8776 \approx 1,8776 \] - Agora, aplique a fórmula: \[ x_1 = 0,5 - \frac{-0,2706}{1,8776} \approx 0,5 + 0,1444 \approx 0,6444 \] 4. Repetindo o processo: - Calcule \( f(0,6444) \) e \( f'(0,6444) \): \[ f(0,6444) \approx 0,6444^2 + \sin(0,6444) - 1 \approx 0,4142 + 0,6051 - 1 \approx 0,0193 \] \[ f'(0,6444) \approx 2(0,6444) + \cos(0,6444) \approx 1,2888 + 0,7986 \approx 2,0874 \] - Aplique novamente: \[ x_2 = 0,6444 - \frac{0,0193}{2,0874} \approx 0,6444 - 0,0093 \approx 0,6351 \] 5. Continuando até o erro ser menor que 0,0001: - Continue esse processo até que a diferença entre \( x_n \) e \( x_{n+1} \) seja menor que 0,0001. Após algumas iterações, você encontrará que a raiz se aproxima de 0,6367. Portanto, a alternativa correta é: Alternativa 3: 0,6367.