Calcule as integrais utilizando o método de mudança de variável ou método de substituição ∫▒〖sin⁡(x) cos⁡(x)dx〗

Question

Calcule as integrais utilizando o método de mudança de variável ou método de substituição ∫▒〖sin⁡(x)  cos⁡(x)dx〗

Ed · Answer

Para calcular a integral $\int \sin(x) \cos(x) \, dx$ utilizando o método de mudança de variável, podemos usar a seguinte substituição:

1. **Escolha a substituição**: Vamos usar $u = \sin(x)$. Assim, a derivada de $u$ em relação a $x$ é $du = \cos(x) \, dx$.

2. **Substitua na integral**: A integral se torna:
   $$
   \int \sin(x) \cos(x) \, dx = \int u \, du
   $$

3. **Calcule a nova integral**: A integral de $u$ é:
   $$
   \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C
   $$

4. **Volte à variável original**: Substituindo $u$ de volta, temos:
   $$
   \frac{\sin^2(x)}{2} + C
   $$

Portanto, a integral $\int \sin(x) \cos(x) \, dx$ é:
$$
\frac{\sin^2(x)}{2} + C
$$

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