Calcular as integrais indefinidas e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados ∫▒〖t^((-1)/3) dt〗

Para calcular a integral indefinida \(\int t^{-\frac{1}{3}} \, dt\), usamos a regra da potência. A fórmula para integrar \(t^n\) é: \[ \int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \] No seu caso, \(n = -\frac{1}{3}\). Portanto, \(n + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\). Agora, aplicando a fórmula: \[ \int t^{-\frac{1}{3}} \, dt = \frac{t^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C \] Agora, vamos derivar a resposta para conferir: \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{-\frac{1}{3}} = t^{-\frac{1}{3}} \] Portanto, a derivada da integral é \(t^{-\frac{1}{3}}\), que confirma que o cálculo da integral está correto. A resposta final é: \[ \int t^{-\frac{1}{3}} \, dt = \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C \]