Para determinar a taxa de variação da temperatura em um ponto específico ao longo de uma trajetória definida por um vetor, precisamos usar o conceito de derivadas direcionais. A função dada é \( T(x, y) = x^2 + 2y^2 \). 1. Calcular as derivadas parciais: - A derivada parcial em relação a \( x \): \[ T_x = \frac{\partial T}{\partial x} = 2x \] - A derivada parcial em relação a \( y \): \[ T_y = \frac{\partial T}{\partial y} = 4y \] 2. Avaliar as derivadas parciais no ponto \( (1, \sqrt{2}) \): - Para \( x = 1 \): \[ T_x(1, \sqrt{2}) = 2(1) = 2 \] - Para \( y = \sqrt{2} \): \[ T_y(1, \sqrt{2}) = 4(\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} \] 3. Encontrar o vetor unitário da direção do vetor \( (2, 4) \): - O vetor \( (2, 4) \) tem módulo: \[ ||(2, 4)|| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] - O vetor unitário \( \mathbf{u} \) na direção de \( (2, 4) \) é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{2}{2\sqrt{5}}, \frac{4}{2\sqrt{5}} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \] 4. Calcular a derivada direcional: - A taxa de variação da temperatura na direção do vetor \( (2, 4) \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}}T = T_x(1, \sqrt{2}) \cdot u_x + T_y(1, \sqrt{2}) \cdot u_y \] - Substituindo os valores: \[ D_{\mathbf{u}}T = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2 + 8\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \] Portanto, a taxa de variação da temperatura sofrida pelo objeto na trajetória definida pelo vetor \( (2, 4) \) é \( \frac{2 + 8\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \).