Para encontrar a Série de Fourier da função \( f(t) = t \) no intervalo \( -\pi \) a \( \pi \) com período fundamental \( P = 2\pi \), seguimos os seguintes passos: 1. Cálculo de \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{P} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \, dt = 0 \] 2. Cálculo de \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \cos(nt) \, dt \] Como a função \( t \cos(nt) \) é ímpar, temos \( a_n = 0 \). 3. Cálculo de \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \sin(nt) \, dt \] Usando a integração por partes: - Seja \( u = t \) e \( dv = \sin(nt) dt \). - Então, \( du = dt \) e \( v = -\frac{1}{n} \cos(nt) \). Aplicando a integração por partes: \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{t}{n} \cos(nt) \bigg|_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nt) \, dt \right] \] O primeiro termo se anula, e o segundo também se anula, pois a integral de \( \cos(nt) \) em um período completo é zero. Portanto, o resultado final para \( b_n \) é: \[ b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \] 4. Série de Fourier: A Série de Fourier da função \( f(t) = t \) é dada por: \[ f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nt) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin(nt) \] Assim, a Série de Fourier da função \( f(t) = t \) no intervalo \( -\pi \) a \( \pi \) é: \[ f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin(nt) \]