Para calcular a transformada de Laplace de \( f(t) = e^{5t} \), utilizamos a definição da transformada de Laplace: \[ L\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \] Substituindo \( f(t) \): \[ L\{e^{5t}\} = \int_0^{\infty} e^{-st} e^{5t} \, dt = \int_0^{\infty} e^{(5-s)t} \, dt \] Para que a integral converja, precisamos que \( s > 5 \). A integral se torna: \[ \int_0^{\infty} e^{(5-s)t} \, dt = \left[ \frac{e^{(5-s)t}}{5-s} \right]_0^{\infty} \] Calculando os limites: - Quando \( t \to \infty \), \( e^{(5-s)t} \to 0 \) se \( s > 5 \). - Quando \( t = 0 \), \( e^{(5-s) \cdot 0} = 1 \). Portanto, temos: \[ L\{e^{5t}\} = \frac{0 - 1}{5-s} = \frac{-1}{5-s} = \frac{1}{s-5} \quad \text{para } s > 5 \] Assim, a transformada de Laplace de \( e^{5t} \) é: \[ L\{e^{5t}\} = \frac{1}{s-5}, \quad s > 5 \]