Dada a função g ( x ) = sen ( x 2 ) , determine o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de f no ponto de abscissa x = √ π / 2 .

Para determinar o coeficiente angular da reta normal ao gráfico da função \( g(x) = \sen(x^2) \) no ponto de abscissa \( x = \sqrt{\pi}/2 \), siga os passos abaixo: 1. Calcule a derivada da função: A derivada de \( g(x) \) é dada por: \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(\sen(x^2)) = \cos(x^2) \cdot 2x \] 2. Avalie a derivada no ponto \( x = \sqrt{\pi}/2 \): \[ g'(\sqrt{\pi}/2) = \cos\left(\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^2\right) \cdot 2\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \sqrt{\pi} \] Sabendo que \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ g'(\sqrt{\pi}/2) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{2\pi}}{2} \] 3. Determine o coeficiente angular da reta tangente: O coeficiente angular da reta tangente no ponto é \( g'(\sqrt{\pi}/2) = \frac{\sqrt{2\pi}}{2} \). 4. Calcule o coeficiente angular da reta normal: O coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso do coeficiente angular da reta tangente: \[ m_{\text{normal}} = -\frac{1}{g'(\sqrt{\pi}/2)} = -\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \] Portanto, o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de \( g \) no ponto de abscissa \( x = \sqrt{\pi}/2 \) é: \[ -\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \]