Determine o conjunto no qual a função de domínio real, definida por f(x) = x²ex, é decrescente. A ]0;2[ B ]-2;0[ C ]0;1[ D ]-∞,-2[ E ]0;+00[

Para determinar onde a função \( f(x) = x^2 e^x \) é decrescente, precisamos encontrar a derivada da função e analisar seu sinal. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 e^x) = e^x(2x + x^2) = e^x x(2 + x) \] 2. Analisar o sinal da derivada: A função \( e^x \) é sempre positiva. Portanto, o sinal de \( f'(x) \) depende do termo \( x(2 + x) \). 3. Encontrar os zeros da derivada: \[ x(2 + x) = 0 \implies x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -2 \] 4. Analisar os intervalos: - Para \( x < -2 \): \( x < 0 \) e \( 2 + x < 0 \) → \( f'(x) > 0 \) (crescente) - Para \( -2 < x < 0 \): \( x < 0 \) e \( 2 + x > 0 \) → \( f'(x) < 0 \) (decrescente) - Para \( x > 0 \): \( x > 0 \) e \( 2 + x > 0 \) → \( f'(x) > 0 \) (crescente) 5. Conclusão: A função \( f(x) \) é decrescente no intervalo \( ]-2, 0[ \). Portanto, a alternativa correta é: B ]-2;0[.