Para encontrar a derivada segunda da função \( f(x) = 19x^6 - 33x^3 + 111x + 19 \), vamos calcular a derivada primeira e, em seguida, a derivada segunda. 1. Derivada primeira \( f'(x) \): - A derivada de \( 19x^6 \) é \( 114x^5 \). - A derivada de \( -33x^3 \) é \( -99x^2 \). - A derivada de \( 111x \) é \( 111 \). - A derivada de uma constante (19) é 0. Portanto, a derivada primeira é: \[ f'(x) = 114x^5 - 99x^2 + 111 \] 2. Derivada segunda \( f''(x) \): - A derivada de \( 114x^5 \) é \( 570x^4 \). - A derivada de \( -99x^2 \) é \( -198x \). - A derivada de \( 111 \) é 0. Assim, a derivada segunda é: \[ f''(x) = 570x^4 - 198x \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( f''(x) = 114x^5 - 99x^2 + 111 \) - Incorreta, esta é a derivada primeira. B) \( f''(x) = 570x^5 - 198x^2 + 111 \) - Incorreta, não corresponde à derivada correta. C) \( f''(x) = 570x^4 - 198x \) - Correta, corresponde à derivada segunda que encontramos. D) \( f''(x) = 570x^3 - 198 \) - Incorreta, não corresponde à derivada correta. Portanto, a alternativa correta é: C) \( f''(x) = 570x^4 - 198x \).