Consideremos um triângulo ABC de 15 cm de perímetro. A bissetriz externa do ângulo desse triângulo encontra o prolongamento do lado em um ponto S. Sabendo que a bissetriz interna do ângulo determina sobre dois segmentos e de medidas 3 cm e 2 cm, nesta ordem, as medidas dos lados do triângulo e a medida do segmento serão:
a) BC = 6 cm; AB = 6 cm; AC = 5 cm; CS = 10 cm.
b) BC = 5 cm; AB = 6 cm; AC = 4 cm; CS = 10 cm.
c) BC = 5 cm; AB = 8 cm; AC = 6 cm; CS = 12 cm.
d) BC = 10 cm; AB = 12 cm; AC = 8 cm; CS = 10 cm.
e) não sei.

Question

Consideremos um triângulo ABC de 15 cm de perímetro. A bissetriz externa do ângulo desse triângulo encontra o prolongamento do lado em um ponto S. ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos usar a propriedade da bissetriz interna, que afirma que a razão entre os segmentos formados pela bissetriz é igual à razão entre os lados opostos do triângulo.

Dado que a bissetriz interna divide os lados em segmentos de 3 cm e 2 cm, podemos dizer que:

$$
\frac{AB}{AC} = \frac{3}{2}
$$

Vamos chamar $ AB = 3k $ e $ AC = 2k $. Assim, temos:

$$
AB + AC + BC = 15 \text{ cm}
$$

Substituindo os valores:

$$
3k + 2k + BC = 15
$$

Isso nos dá:

$$
5k + BC = 15
$$

Agora, precisamos encontrar o valor de $ BC $ em relação a $ k $. Para isso, vamos analisar as alternativas:

a) $ BC = 6 $ cm; $ AB = 6 $ cm; $ AC = 5 $ cm; $ CS = 10 $ cm.
b) $ BC = 5 $ cm; $ AB = 6 $ cm; $ AC = 4 $ cm; $ CS = 10 $ cm.
c) $ BC = 5 $ cm; $ AB = 8 $ cm; $ AC = 6 $ cm; $ CS = 12 $ cm.
d) $ BC = 10 $ cm; $ AB = 12 $ cm; $ AC = 8 $ cm; $ CS = 10 $ cm.

Vamos verificar a alternativa (b):

Se $ BC = 5 $ cm, então:

$$
3k + 2k + 5 = 15
$$
$$
5k = 10 \implies k = 2
$$

Assim, temos:

$$
AB = 3k = 6 \text{ cm}
$$
$$
AC = 2k = 4 \text{ cm}
$$

Portanto, a alternativa (b) é consistente com a condição do perímetro e a razão da bissetriz.

Assim, a resposta correta é: **b) BC = 5 cm; AB = 6 cm; AC = 4 cm; CS = 10 cm.**

Matemática

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(Fuvest) Na figura abaixo, AB = BC = 4 m, BÂD = 150o, AM = MD = 5 m, CN = ND e MN = 2 m.
Determine a área do triângulo ACD em m2.
a) 15,0
b) 17,5
c) 20,0
d) 22,50
e) 25,0

Num trapézio, cujas bases medem 20 m e 32 m, e a altura, 9 m, traça-se uma reta paralela às bases do trapézio, que dista 3 m da base maior. Calcule o segmento dessa paralela, compreendido entre os lados não paralelos do trapézio.
a) 22 m
b) 24 m
c) 26 m
d) 28 m
e) 30 m
f) não sei

(UFPE–2009) Na ilustração a seguir, AD e BD estão nas bissetrizes respectivas dos ângulos e do triângulo ABC, e EF, que contém D, é paralela a AB. Se AC = 12 e BC = 8, qual o perímetro do triângulo CEF?
a) 16
b) 18
c) 20
d) 22
e) 24
f) não sei

Os lados de um triângulo medem 5 cm, 6 cm e 7 cm. Em quanto é preciso prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto?
a) 5 cm.
b) 15 cm.
c) 30 cm.
d) 45 cm.
e) não sei.

O perímetro de um triângulo ABC é 100 m. A bissetriz interna do ângulo divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Quais as medidas dos lados desse triângulo?
a) 24 m, 36 m, 40 m.
b) 12 m, 16 m, 36 m.
c) 24 m , 12 m, 40 m.
d) 24 m, 24 m, 36 m.
e) não sei.

(UFMG - 89) Na figura, os segmentos BC e DE são paralelos, = 15 m, = 5 m e = 6 m. A medida do segmento CE é, em metros:
a) 5
b) 6
c) 10
d) 12
e) 18
f) Não sei.

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(Fuvest) Na figura abaixo, AB = BC = 4 m, BÂD = 150o, AM = MD = 5 m, CN = ND e MN = 2 m.Determine a área do triângulo ACD em m2.a) 15,0b) 17,5c) 20,0d) 22,50e) 25,0

Num trapézio, cujas bases medem 20 m e 32 m, e a altura, 9 m, traça-se uma reta paralela às bases do trapézio, que dista 3 m da base maior. Calcule o segmento dessa paralela, compreendido entre os lados não paralelos do trapézio.a) 22 mb) 24 mc) 26 md) 28 me) 30 mf) não sei

(UFPE–2009) Na ilustração a seguir, AD e BD estão nas bissetrizes respectivas dos ângulos e do triângulo ABC, e EF, que contém D, é paralela a AB. Se AC = 12 e BC = 8, qual o perímetro do triângulo CEF?a) 16b) 18c) 20d) 22e) 24f) não sei

Os lados de um triângulo medem 5 cm, 6 cm e 7 cm. Em quanto é preciso prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto?a) 5 cm.b) 15 cm.c) 30 cm.d) 45 cm.e) não sei.

O perímetro de um triângulo ABC é 100 m. A bissetriz interna do ângulo divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Quais as medidas dos lados desse triângulo?a) 24 m, 36 m, 40 m.b) 12 m, 16 m, 36 m.c) 24 m , 12 m, 40 m.d) 24 m, 24 m, 36 m.e) não sei.

(UFMG - 89) Na figura, os segmentos BC e DE são paralelos, = 15 m, = 5 m e = 6 m. A medida do segmento CE é, em metros:a) 5b) 6c) 10d) 12e) 18f) Não sei.

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a) 15,0
b) 17,5
c) 20,0
d) 22,50
e) 25,0

Num trapézio, cujas bases medem 20 m e 32 m, e a altura, 9 m, traça-se uma reta paralela às bases do trapézio, que dista 3 m da base maior. Calcule o segmento dessa paralela, compreendido entre os lados não paralelos do trapézio.
a) 22 m
b) 24 m
c) 26 m
d) 28 m
e) 30 m
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a) 16
b) 18
c) 20
d) 22
e) 24
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Os lados de um triângulo medem 5 cm, 6 cm e 7 cm. Em quanto é preciso prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto?
a) 5 cm.
b) 15 cm.
c) 30 cm.
d) 45 cm.
e) não sei.

O perímetro de um triângulo ABC é 100 m. A bissetriz interna do ângulo divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Quais as medidas dos lados desse triângulo?
a) 24 m, 36 m, 40 m.
b) 12 m, 16 m, 36 m.
c) 24 m , 12 m, 40 m.
d) 24 m, 24 m, 36 m.
e) não sei.

(UFMG - 89) Na figura, os segmentos BC e DE são paralelos, = 15 m, = 5 m e = 6 m. A medida do segmento CE é, em metros:
a) 5
b) 6
c) 10
d) 12
e) 18
f) Não sei.