Método de Newton-Raphson

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Cálculo Numérico – Nota 100
Questão 1/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho a seguir sobre integração numérica:
"Calcular integrais é uma tarefa rotineira em engenharia, aparecendo em quase todo problema que exige algum cálculo mais sofisticado.  [...] Achar a primitiva
F(x)=∫xaf(u)duF(x)=∫axf(u)du  não  é  tarefa  simples.
Não existe um método geral que forneça a primitiva F(x)F(x) para uma função arbitraria f(x)f(x).
O que nós temos são algumas regras de integração que podem nos auxiliar em alguns casos."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
http://homepages.dcc.ufmg.br/~assuncao/an/Integracao01.pdf}. Acesso em 03 Jul. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numérico sobre integração numérica e os métodos de integração numérica, resolva o seguinte problema: Um foguete é lançado do chão verticalmente, para cima, e foi medida a sua velocidade em 6 instantes, conforme tabela a seguir:
t(segundos)051015202530v(velocidade,pés/seg)070,6190,1351,6538,6630,1722,1t(segundos)051015202530v(velocidade,pés/seg)070,6190,1351,6538,6630,1722,1
Calcule a integral ∫300v(t)dt∫030v(t)dt, utilizando o método dos trapézios com 6 subintervalos. Apresente todo o desenvolvimento.
Nota: 10.0
	
	A
	10.850,2210.850,22
	
	B
	10.710,2510.710,25
Você acertou!
Calculamos o valor de hh:
h=b−a6=30−06=5h=b−a6=30−06=5
Calculamos a aproximação, pelo método dos trapézios:
∫200v(t)dt≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4))+f(x5))∫020v(t)dt≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4))+f(x5))
∫200v(t)dt≈52(0+2(70,6+190,1+351,6+538,6+630,1)+722,1)≈10.710,25∫020v(t)dt≈52(0+2(70,6+190,1+351,6+538,6+630,1)+722,1)≈10.710,25
(livro-base p. 64-66)
	
	C
	10.783,2110.783,21
	
	D
	10.984,4310.984,43
	
	E
	10.569,7710.569,77
Questão 2/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho sobre o método de Newton-Raphson: 
"Este método, sob determinadas condições, apresenta vantagens sobre os  método anteriores: é de convergência mais rápida e, para encontrar as raízes, não é  obrigatória a condição f(a)×f(b)<0f(a)×f(b)<0." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/114/arquivos/matematica/calculo_numerico/met_newton_raphson.pdf. Acesso em 02 jun. 2018. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre o método da Newton-Raphson e a função f(x)=x2+x−6f(x)=x2+x−6, assinale a alternativa que dá o zero da função com valor inicial x0=1,5x0=1,5, pelo método de Newton-Raphson, com critério de parada |xn−xn+1||xn−xn+1| e precisão ϵ=0,07ϵ=0,07. 
Complete a tabela a seguir (utilize as primeiras linhas que forem necessárias, até atingir a precisão desejada).
nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01234nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01234
Nota: 10.0
	
	A
	1,9551,955
	
	B
	2,06252,0625
	
	C
	2,00076212,0007621
Você acertou!
Comentário: Construindo a tabela, pelo método de Newton, temos:
nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01,5−2,254∗12,06250,316406255,1250,562522,0007621950,0038115575,001524390,061737805nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01,5−2,254∗12,06250,316406255,1250,562522,0007621950,0038115575,001524390,061737805
A raiz é x=2,0007621x=2,0007621 e o erro absoluto é igual 0,061737805.0,061737805.
(livro-base p. 44-46)
	
	D
	2,122352,12235
	
	E
	1,89991,8999
Questão 3/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho sobre o método de Newton-Raphson: 
"Em análise numérica, o método de Newton (ou Método de Newton-Raphson), desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente (por meio da derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton-Raphson. Acesso em 02 jun. 2018. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre o método da Newton-Raphson, assinale a alternativa cujo valor é a raiz da função f(x)=x−2sen(x)f(x)=x−2sen(x), pelo método de Newton-Raphson, com critério de parada |xn−xn+1||xn−xn+1|, precisão ϵ=0,001ϵ=0,001 e valor inicial x0=1,7x0=1,7. 
Complete a tabela a seguir e utilize como critério de parada o erro absoluto (utilize as primeiras linhas que forem necessárias, até atingir a precisão desejada).
nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01234nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01234
Nota: 10.0
	
	A
	1,97522221,9752222
	
	B
	1,925277961,92527796
	
	C
	1,89500071,8950007
	
	D
	1,8954944071,895494407
Você acertou!
Comentário: 
Construindo a tabela, pelo método de Newton, temos:
xf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01,7−0,2833296211,257688989∗11,9252779690,0496248911,6942085640,22527796921,8959870710,0008074651,6389790770,02929089831,8954944072,30009E−071,6380453140,000492663nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01,7−0,2833296211,257688989∗11,9252779690,0496248911,6942085640,22527796921,8959870710,0008074651,6389790770,02929089831,8954944072,30009E−071,6380453140,000492663
A raiz é x=x= 1,895494 e o erro absoluto é igual  0,000493.0,000493.  (livro-base p. 44-46)
	
	E
	1,99540751,9954075
Questão 4/10 - Cálculo Numérico
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre conversão da base decimal para a binária, assinale a alternativa cujo valor é a representação binária do número decimal 19101910.
Nota: 10.0
	
	A
	1910=1110121910=111012
	
	B
	1910=1100121910=110012
	
	C
	1910=1001121910=100112
Você acertou!
Dividindo 19 por 2, temos
19÷2=9,r=19÷2=4,r=14÷2=2,r=02÷2=1,r=019÷2=9,r=19÷2=4,r=14÷2=2,r=02÷2=1,r=0Juntamos o último resultado da divisão com os restos e temos 19_{10}=10011_2.
(livro-base p.21-26)
	
	D
	1910=1010121910=101012
	
	E
	1910=0110121910=011012
Questão 5/10 - Cálculo Numérico
Leia trecho de texto a seguir:
"Como dependendo das grandezas envolvidas o erro absoluto pode não ser muito significativo, portanto empregamos o erro relativo que é o erro absoluto dividido pelo valor aproximado ¯¯¯xx¯." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em http://silveiraneto.net/estudos/erro-absoluto-e-erro-relativo/. Acesso em 22 Mai. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre erros, leia as seguintes informações:
Seja a expressão a.b−c.da.b−c.d, tal que os valores exatos de a, b, c e d são, respectivamente, a=2,362, b=4,287, c=5,863 e d=4,893a=2,362, b=4,287, c=5,863 e d=4,893, assinale a alternativa que dá o valor aproximado, com arredondamento na primeira casa decimal para cada operação, da expressão dada.
Nota: 10.0
	
	A
	-18,6
Você acertou!
Comentário: 
Cálculo do valor exato: 2,362×4,287−5,863×4,893=10,125894−28,687659=−18,5617652,362×4,287−5,863×4,893=10,125894−28,687659=−18,561765 
Cálculo do valor aproximado: 2,362×4,287−5,863×4,893=10,1259−28,6877=10,1−28,7=−18,6.2,362×4,287−5,863×4,893=10,1259−28,6877=10,1−28,7=−18,6. 
(livro-base, p. 9-12).
	
	B
	-18,5
	
	C
	-18,56
	
	D
	-18,57
	
	E
	-19
Questão 6/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho a seguir sobre integração numérica:
"Alguns casos só podem ser resolvidos através de métodos algorítmicos, como quando não possuímos a expressão analítica de f.
Queremos obter a solução numérica (chamada de quadratura) de uma integral simples de modo que:
Sendo f(x)f(x) uma função contínua em [a, b], existe uma primitiva neste intervalo e 
F(x)F(x) é tal que ∫f(x)dx=F(x)+c∫f(x)dx=F(x)+c, com F´(x)=f(x)F´(x)=f(x) e ∫baf(x)dx=F(b)−F(a).∫abf(x)dx=F(b)−F(a).
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://www.inf.ufpr.br/kunzle/disciplinas/ci202/2017-2/slides/6a-integra%C3%A7%C3%A3o%20num%C3%A9rica.pdf}. Acesso em 03 Jul. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numérico cálculo numérico sobre integração numérica, assinale a alternativa que dá o valor aproximado daintegral ∫41√ln(x)dx∫14ln(x)dx, empregando o método 3/8 de Simpson com 6 subintervalos. 
Nota: 10.0
	
	A
	2,6253876932,625387693
Você acertou!
Calculamos o valor de hh: 
h=b−a6=4−16=0,5h=b−a6=4−16=0,5
construímos a tabela com os valores para x e f(x):
x11,522,533,54f(x)00,6367614220,8325546110,9572307621,0481470741,1192689441,177410023x11,522,533,54f(x)00,6367614220,8325546110,9572307621,0481470741,1192689441,177410023
Calculamos a aproximação, pelo método 3/8 de Simpson:
∫41√ln(x)dx≈3h8.((f(x0)+3.(f(x1)+f(x2)+f(x4))+f(x5))+2f(x3)+f(x6))∫14ln(x)dx≈3h8.((f(x0)+3.(f(x1)+f(x2)+f(x4))+f(x5))+2f(x3)+f(x6))
∫41√ln(x)dx≈3.0,58(0+4(0,636761422+0,832554611+1,048147074+1,119268944)+2.0,957230762+1,177410023)≈2,625387693∫14ln(x)dx≈3.0,58(0+4(0,636761422+0,832554611+1,048147074+1,119268944)+2.0,957230762+1,177410023)≈2,625387693
(livro-base p. 66-68)
	
	B
	2,66141542,6614154
	
	C
	2,711225542,71122554
	
	D
	2,512465892,51246589
	
	E
	2,78895622,7889562
Questão 7/10 - Cálculo Numérico
Considerando os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico e os conteúdos da Aula 1, Videoaula 6, tema 5 - Erro de arredondamento, assinale a alternativa que dá a forma binária do número decimal 13,251013,2510.
Nota: 10.0
	
	A
	13,2510=1101,01213,2510=1101,012
Você acertou!
dividimos a parte inteira:
13÷2=6resto=16÷2=3resto=03÷2=1resto=11310=110113÷2=6resto=16÷2=3resto=03÷2=1resto=11310=1101
parte decimal
0.1/2+1/4=1/4
0,25×2=0,50,5×2=10,2510=0,0120,25×2=0,50,5×2=10,2510=0,012
(Aula 1 - tema 5 - Erro de Arrendondamento - instante -16 segundos.)
	
	B
	13,2510=1110,01213,2510=1110,012
	
	C
	13,2510=1101,110213,2510=1101,1102
	
	D
	13,2510=1101,22213,2510=1101,222
	
	E
	13,2510=1101,101213,2510=1101,1012
Questão 8/10 - Cálculo Numérico
Leia trecho de texto a seguir, sobre o teorema de Bolzano:
"Se f(x) assume valores de sinais opostos no intervalo [a,b], isto é, f(a)*f(b)<0, então existe ao menos uma raiz no intervalo."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
https://www.ppgia.pucpr.br/~jamhour/Pessoal/Graduacao/MatComputacional/Aula2.pdf. Acesso em 30 mai. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre zeros de função, assinale a alternativa com os intervalos [a,b], com a e b inteiros consecutivos, que contenham os zeros da função, para x>−6 e x<6x>−6 e x<6, da função f(x)=x3−9x+3f(x)=x3−9x+3.
x−5−4−3−2−1012345f(x)x−5−4−3−2−1012345f(x)
Nota: 10.0
	
	A
	[−5,−4],[−1,0] e [4,5][−5,−4],[−1,0] e [4,5]
	
	B
	[−1,0],[1,2] e [4,5][−1,0],[1,2] e [4,5]
	
	C
	[−5,−4],[0,1] e [1,2][−5,−4],[0,1] e [1,2]
	
	D
	 [−4,−3],[0,1] e [2,3][−4,−3],[0,1] e [2,3].
Você acertou!
Comentário: A tabela deve ser completada com valor da função para cada x.
x−5−4−3−2−1012345f(x)−77−25313113−5−733183x−5−4−3−2−1012345f(x)−77−25313113−5−733183
Os intervalos são: [−4,−3],[0,1]e[2,3][−4,−3],[0,1]e[2,3].
Justificativa: Pelo teorema de Bolzano, quando a função "muda de sinal", existe no intervalo pelo menos uma raiz para a função.
(livro-base, p. 33-37).
	
	E
	[−4,−3],[−1,0] e [2,3][−4,−3],[−1,0] e [2,3]
Questão 9/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho a seguir sobre integração numérica:
"Os métodos de integração numérica aproximam valores de integrais definidas.
- A integração numérica é útil quando: - Não se conhece a função f. Tem-se apenas uma tabela de valores para f.
- f é conhecida mas é muito complexa, o que dificulta a determinação de sua primitiva."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://www.facom.ufms.br/~montera/integracao_parte1.pdf}. Acesso em 13 jun. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numéricocálculo numérico sobre integração numérica e o método dos trapézios, assinale a alternativa cujo valor aproximado é o da integral ∫91√6x−5dx∫196x−5dx, obtido pelo empregando o método dos trapézios com 8 subintervalos. 
Nota: 10.0
	
	A
	38,33
	
	B
	38,02
	
	C
	37,97
	
	D
	37,82
Você acertou!
Calculamos o valor de hh: 
h=b−a8=9−18=1h=b−a8=9−18=1
construímos a tabela com os valores para x e f(x):
x123456789f(x)12,6457513113,6055512754,35889894455,5677643636,082762536,5574385247x123456789f(x)12,6457513113,6055512754,35889894455,5677643636,082762536,5574385247
Calculamos a aproximação, pela fórmula dos trapézios para 8 subintervalos:
∫91√6x−5dx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6)+f(x7)+f(x8))∫196x−5dx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6)+f(x7)+f(x8))
∫91√6x−5dx≈12(1+2.(2,645751311+3,605551275+4,358898944+5+5,567764363+6,08276253+6,557438524)+7))≈37,82∫196x−5dx≈12(1+2.(2,645751311+3,605551275+4,358898944+5+5,567764363+6,08276253+6,557438524)+7))≈37,82
OBS.: O Valor exato é 38 (não vale como resposta). (livro-base p. 64-66)
	
	E
	37,51
Questão 10/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho a seguir sobre regra do trapézio:
"O que caracteriza as quadraturas newtonianas é o espaçamento constante entre os pontos. O caso mais simples é denominado regra do trapézio na qual apenas dois pontos são utilizados. De acordo com o sistema, a quadratura com dois pontos é dada pela fórmula ∫baf(x)dx≈C1f(a)+C2f(b).∫abf(x)dx≈C1f(a)+C2f(b).
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://www.mat.ufrgs.br/~guidi/grad/MAT01032/calculo_numerico.cap7.pdf}. Acesso em 03 Jul. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numéricocálculo numérico sobre integração numérica e o método dos trapézios, calcule a integral ∫1,80√1+exdx∫01,81+exdx, empregando o método dos trapézios com 6 subintervalos. Apresente todo o desenvolvimento.
Nota: 10.0
	
	A
	3,612543,61254
	
	B
	3,4581891823,458189182
Você acertou!
Calculamos o valor de hh: 
h=b−a6=1,8−06=0,3h=b−a6=1,8−06=0,3
construímos a tabela com os valores para x e f(x):
x00,30,60,91,21,51,8f(x)1,4142135621,5329249191,6799163081,8600008362,0784890962,3413007222,655117222x00,30,60,91,21,51,8f(x)1,4142135621,5329249191,6799163081,8600008362,0784890962,3413007222,655117222
Calculamos a aproximação, pela fórmula dos trapézios para 8 subintervalos:
∫1,80√1+exdx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6))∫01,81+exdx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6))∫1,80√1+exdx≈0,32(1,414213562+2(1,532924919+1,679916308+1,860000836+2,078489096+2,341300722)+2,655117222)≈3,458189182∫01,81+exdx≈0,32(1,414213562+2(1,532924919+1,679916308+1,860000836+2,078489096+2,341300722)+2,655117222)≈3,458189182
(livro-base p. 64-66)
	
	C
	3,330023,33002
	
	D
	3,78813,7881
	
	E
	3,66663,6666