O problema descreve uma construção geométrica com as seguintes características: 1. Considere um segmento AB de comprimento a (número inteiro positivo)

Question

O problema descreve uma construção geométrica com as seguintes características: 1. Considere um segmento AB de comprimento a (número inteiro positivo). 2. Prolongue o segmento até o ponto C tal que BC seja um segmento unitário (comprimento 1). 3. Trace uma circunferência de diâmetro AC. 4. Por B, levante uma perpendicular a AC, a qual encontra a circunferência no ponto D. Com base nessa construção e analisando a figura, podemos concluir o seguinte: - O triângulo ADC é retângulo em D, pois está inscrito em uma semicircunferência (teorema do ângulo inscrito). - BD é a altura relativa à hipotenusa AC no triângulo ADC. - AC = a + 1 (pois AC = AB + BC = a + 1). Considerando o triângulo retângulo ADC e a altura BD, podemos usar as relações métricas para encontrar o comprimento de BD. Pela relação métrica da altura, temos: BD^2 = AB \cdot BC BD^2 = a \cdot 1

Ed · Answer

Vamos analisar a construção geométrica e a relação métrica apresentada.

1. Temos um triângulo retângulo ADC, onde D é o ponto onde a perpendicular BD encontra a circunferência.
2. A relação métrica da altura em um triângulo retângulo nos diz que a altura (BD) ao lado da hipotenusa (AC) é dada por:

$$
   BD^2 = AB \cdot BC
   $$

3. Sabemos que $ AB = a $ e $ BC = 1 $. Portanto, substituindo na fórmula:

$$
   BD^2 = a \cdot 1
   $$

Isso simplifica para:

$$
   BD^2 = a
   $$

4. Para encontrar o comprimento de BD, tiramos a raiz quadrada:

$$
   BD = \sqrt{a}
   $$

Assim, a conclusão é que o comprimento de BD é igual a $\sqrt{a}$. Se você tiver opções de resposta, por favor, forneça-as para que eu possa identificar a correta!

Matemática

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