Para calcular o volume de um octaedro regular, precisamos primeiro entender a relação entre a área total da superfície e o volume. Sabemos que a área total do octaedro é dada como \( 36\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \). Como o octaedro possui 8 faces triangulares equiláteras, a área de uma face é: \[ \text{Área de uma face} = \frac{\text{Área total}}{8} = \frac{36\sqrt{3}}{8} = 4.5\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \] A área de um triângulo equilátero é dada pela fórmula: \[ A = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] onde \( a \) é o comprimento do lado do triângulo. Igualando a área de uma face do octaedro à área de um triângulo equilátero, temos: \[ \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 4.5\sqrt{3} \] Cancelando \( \sqrt{3} \) e multiplicando ambos os lados por 4, obtemos: \[ a^2 = 18 \implies a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \, \text{cm} \] Agora, para calcular o volume \( V \) do octaedro regular, usamos a fórmula: \[ V = \frac{a^3}{3\sqrt{2}} \] Substituindo \( a = 3\sqrt{2} \): \[ V = \frac{(3\sqrt{2})^3}{3\sqrt{2}} = \frac{27 \cdot 2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{54\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = 18 \, \text{cm}^3 \] No entanto, parece que não temos essa opção. Vamos verificar as opções novamente: A) 12 cm³ B) 9√2 cm³ C) 3√2 cm³ D) 36 cm³ E) 13 cm³ Parece que houve um erro no cálculo do volume. Vamos revisar a fórmula do volume do octaedro: A fórmula correta para o volume de um octaedro regular é: \[ V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 \] Substituindo \( a = 3\sqrt{2} \): \[ V = \frac{\sqrt{2}}{3} (3\sqrt{2})^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 27 \cdot 2\sqrt{2} = \frac{54 \cdot 2}{3} = 36 \, \text{cm}^3 \] Portanto, a resposta correta é: D) 36 cm³.