Para encontrar a Série de Fourier da função \( f(x) = |x| \) no intervalo \( -\pi \leq x \leq \pi \), precisamos calcular os coeficientes \( a_0 \) e \( a_n \). 1. Cálculo de \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \, dx = \frac{1}{\pi} \left( 2 \int_{0}^{\pi} x \, dx \right) = \frac{1}{\pi} \left( 2 \cdot \frac{x^2}{2} \bigg|_0^{\pi} \right) = \frac{\pi^2}{\pi} = \pi \] 2. Cálculo de \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \cos(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \] Usando a integração por partes, onde \( u = x \) e \( dv = \cos(nx)dx \), obtemos: \[ a_n = \frac{2}{\pi} \left( \frac{x \sin(nx)}{n} \bigg|_0^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{n} \, dx \right) \] O primeiro termo se anula, e o segundo integral também se anula, resultando em: \[ a_n = \frac{2(-1)^{n-1}}{n^2} \] 3. Série de Fourier: A série de Fourier da função \( f(x) = |x| \) é dada por: \[ f(x) = \frac{\pi^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}}{n^2} \cos(nx) \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{2}{n^2} \cos(nx) \) B) \( \frac{\pi^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}}{n^2} \cos(nx) \) C) \( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}}{n^2} \cos(nx) \) D) \( \frac{\pi^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}}{n^2} \cos(nx) \) A alternativa correta é a B, pois é a que apresenta a forma correta da série de Fourier para a função \( f(x) = |x| \) no intervalo dado.