Como resolver está questão?

25x 2 + 16y 2 − 150x − 160y + 225 = 0

O latus rectum da parábola equivale ao segmento de reta paralelo à diretriz, passando pelo foco e cujos extremos tocam a parábola. Tal segmento tem 4 vezes a distância do foco ao vértice. Para essa parábola, temos a seguinte equação:

\(y^2+10x-10y-30=0\Rightarrow x = -{1\over10}y^2+y+3\)

Ou seja, temos o latus rectum paralelo ao eixo \(y\). No caso geral, uma parábola com equação no formato

\(4p(x-x_v)=(y-y_v)^2\)

tem latus rectum de tamanho \(\left\vert4p\right\vert\). Transformando nossa equação nessa, temos:

\(-10x = y^2-10y-30 = (y-5)^2-55\Rightarrow 4\cdot\left(-{5\over2}\right)\left(x-{11\over2}\right)=(y-5)^2\)

Temos, então os seguintes parâmetros:

\(p=-{5\over2}\\ (x_v,y_v)=\left({11\over2},5\right)\)

Como o latus rectum tem 4 vezes a distância do foco ao vértice e o eixo da parábola é horizontal, temos:

\(F=(x_f,y_f)=(x_v+p,y_v)=(3,5)\)

Como a parábola é simétrica em relação ao seu eixo, temos que os dois extremos do latus rectum estão localizados em:

\((x_f,y_f\pm2p)=(x_v+p,y_v\pm2p)=(3,5\pm5)\)

Temos então três pontos pertencentes à elipse além de seu centro. Para a equação reduzida da elipse, temos:

\({(x-x_f)^2\over a^2}+{(y-y_f)^2\over b^2}=1\)

Substituindo os parâmetros já obtidos, temos:

\({(x-3)^2\over a^2}+{(y-5)^2\over b^2}=1\)

Substituindo o ponto P dado, temos:

\({(7-3)^2\over a^2}+{(5-5)^2\over b^2}=1\Rightarrow a^2=4^2=16\)

Temos, portanto, até o momento:

\({(x-3)^2\over 16}+{(y-5)^2\over b^2}=1\)

Substituindo os um dos extremos do latus rectum, temos:

\({(3-3)^2\over 16}+{(10-5)^2\over b^2}=1\Rightarrow b^2=5^2=25\)

Voltando para a equação, temos:

\({(x-3)^2\over 16}+{(y-5)^2\over 25}=1\)

Temos agora que encontrar a equação geral. Expandindo os binômios, temos:

\(\begin{align} {x^2-6x+9\over 16}+{y^2-10y+25\over 25}&=1\\ {x^2-6x+9\over 16}+{y^2-10y\over 25}&=0 \end{align}\)

Multiplicando por 400, temos:

\(\begin{align} 25(x^2-6x+9)+16(y^2-10y)&=0\\ 25x^2-150x+225+16y^2-160y&=0\\ \end{align}\)

Logo a equação geral da elipse procurada é dada por:

\(\boxed{25x^2+16y^2-150x-160y+225=0}\)