Considere os pontos o (0,0) e P (10,4) em um sistema de coordenadas cartesianas xy. Podemos afirmar que a quantidade de trajetos de o a P é:

Para determinar a quantidade de trajetos do ponto O (0,0) ao ponto P (10,4) em um sistema de coordenadas cartesianas, consideramos que os trajetos são formados por movimentos apenas para a direita (R) e para cima (U). A partir do ponto O até o ponto P, precisamos fazer 10 movimentos para a direita e 4 movimentos para cima. Portanto, o total de movimentos é 10 + 4 = 14. A quantidade de trajetos diferentes é dada pela combinação dos movimentos, que pode ser calculada pela fórmula: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] onde \( n \) é o total de movimentos (14) e \( k \) é o número de movimentos em uma direção (por exemplo, 10 para a direita). Assim, a quantidade de trajetos é: \[ C(14, 10) = \frac{14!}{10!4!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001 \] Portanto, a quantidade de trajetos de O a P é 1001.