O módulo do produto vetorial entre dois vetores é definido como: ux vu v sent. Deve-se lembrar que, em termos vetoriais, é possível escrever o produto

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O módulo do produto vetorial entre dois vetores é definido como: ux vu v sent. Deve-se lembrar que, em termos vetoriais, é possível escrever o produto escalar na forma matricial: V2 V3 Assim, ao usar os conceitos evidenciados e considerando u = (1, 2, - 2) v = (3, 0, 1) assinale a alternativa que apresenta corretamente o módulo do produto vetorial. A sqrt(39) B sqrt(89) C sqrt(50) D sqrt(10) E sqrt(59)

Ed · Answer

Para calcular o módulo do produto vetorial entre os vetores $ \mathbf{u} = (1, 2, -2) $ e $ \mathbf{v} = (3, 0, 1) $, precisamos primeiro encontrar o produto vetorial $ \mathbf{u} \times \mathbf{v} $.

O produto vetorial é dado pela seguinte fórmula:

$$
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & 2 & -2 \
3 & 0 & 1
\end{vmatrix}
$$

Calculando o determinante, temos:

$$
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & -2 \ 0 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & -2 \ 3 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{vmatrix}
$$

Calculando cada um dos determinantes:

1. Para $ \mathbf{i} $:
$$
\begin{vmatrix} 2 & -2 \ 0 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1) - (0 \cdot -2) = 2
$$

2. Para $ \mathbf{j} $:
$$
\begin{vmatrix} 1 & -2 \ 3 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (3 \cdot -2) = 1 + 6 = 7
$$

3. Para $ \mathbf{k} $:
$$
\begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0) - (3 \cdot 2) = 0 - 6 = -6
$$

Portanto, temos:

$$
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = 2\mathbf{i} - 7\mathbf{j} - 6\mathbf{k} = (2, -7, -6)
$$

Agora, para encontrar o módulo do produto vetorial, usamos a fórmula:

$$
|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = \sqrt{2^2 + (-7)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 49 + 36} = \sqrt{89}
$$

Assim, a alternativa correta é: **B) $\sqrt{89}$**.

Álgebra Linear

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