Para aplicar o Teorema do Valor Médio, precisamos primeiro calcular a derivada da função \( f(x) = x^2 + 2x \) e, em seguida, encontrar o valor de \( c \) no intervalo \( (1, 4) \). 1. Calcular \( f(1) \) e \( f(4) \): - \( f(1) = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 \) - \( f(4) = 4^2 + 2(4) = 16 + 8 = 24 \) 2. Calcular a variação da função: - A variação de \( f \) no intervalo \( [1, 4] \) é \( f(4) - f(1) = 24 - 3 = 21 \). 3. Calcular a derivada \( f'(x) \): - \( f'(x) = 2x + 2 \). 4. Aplicar o Teorema do Valor Médio: - O teorema afirma que existe pelo menos um \( c \) em \( (1, 4) \) tal que: \[ f'(c) = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{21}{3} = 7. \] 5. Igualar a derivada a 7: \[ 2c + 2 = 7. \] \[ 2c = 5 \implies c = \frac{5}{2}. \] Portanto, o valor de \( c \) que satisfaz o Teorema do Valor Médio é \( \frac{5}{2} \). A alternativa correta é: D) \( \frac{5}{2} \).