Para resolver essa questão, vamos considerar dois números inteiros positivos \( x \) e \( y \) que somam 80. Assim, temos: \[ x + y = 80 \] Queremos maximizar o produto \( P = x \cdot y \). Podemos expressar \( y \) em função de \( x \): \[ y = 80 - x \] Substituindo na expressão do produto: \[ P = x \cdot (80 - x) = 80x - x^2 \] Essa é uma função quadrática que abre para baixo (já que o coeficiente de \( x^2 \) é negativo), e seu máximo ocorre no vértice. O vértice de uma parábola dada por \( ax^2 + bx + c \) está em \( x = -\frac{b}{2a} \). Aqui, \( a = -1 \) e \( b = 80 \): \[ x = -\frac{80}{2 \cdot -1} = 40 \] Portanto, \( x = 40 \) e, substituindo para encontrar \( y \): \[ y = 80 - 40 = 40 \] Agora, calculamos o produto: \[ P = 40 \cdot 40 = 1600 \] Assim, o produto máximo entre esses dois números é 1600. Portanto, a alternativa correta é: c) 1600.