Para calcular a soma inferior e superior da área sob a curva da função \( f(x) = x^3 + 2x \) no intervalo \([0, 1]\) dividindo em 4 retângulos, vamos seguir os passos: 1. Dividir o intervalo: O intervalo \([0, 1]\) dividido em 4 partes iguais tem largura \( \Delta x = \frac{1 - 0}{4} = 0,25 \). 2. Pontos de divisão: Os pontos de divisão são \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 0,25 \), \( x_2 = 0,5 \), \( x_3 = 0,75 \), \( x_4 = 1 \). 3. Cálculo das alturas: - \( f(0) = 0^3 + 2(0) = 0 \) - \( f(0,25) = (0,25)^3 + 2(0,25) = 0,015625 + 0,5 = 0,515625 \) - \( f(0,5) = (0,5)^3 + 2(0,5) = 0,125 + 1 = 1,125 \) - \( f(0,75) = (0,75)^3 + 2(0,75) = 0,421875 + 1,5 = 1,921875 \) - \( f(1) = (1)^3 + 2(1) = 1 + 2 = 3 \) 4. Soma inferior (usando a altura do lado esquerdo): \[ A_{inf} = f(0) \cdot \Delta x + f(0,25) \cdot \Delta x + f(0,5) \cdot \Delta x + f(0,75) \cdot \Delta x \] \[ A_{inf} = 0 \cdot 0,25 + 0,515625 \cdot 0,25 + 1,125 \cdot 0,25 + 1,921875 \cdot 0,25 \] \[ A_{inf} = 0 + 0,12890625 + 0,28125 + 0,48046875 = 0,890625 \] 5. Soma superior (usando a altura do lado direito): \[ A_{sup} = f(0,25) \cdot \Delta x + f(0,5) \cdot \Delta x + f(0,75) \cdot \Delta x + f(1) \cdot \Delta x \] \[ A_{sup} = 0,515625 \cdot 0,25 + 1,125 \cdot 0,25 + 1,921875 \cdot 0,25 + 3 \cdot 0,25 \] \[ A_{sup} = 0,12890625 + 0,28125 + 0,48046875 + 0,75 = 1,640625 \] 6. Intervalo da área: \[ 0,890625 < A < 1,640625 \] Agora, analisando as alternativas: - -0,609375 < A < 0,859375 (não é possível) - 1,609375 < A < 1,859375 (não é possível) - 0,609375 < A < 1,859375 (possível, mas não é o intervalo correto) - 0,609375 < A < 0,859375 (não é possível) - 0,859375 < A < 1,609375 (esta é a correta) Portanto, a alternativa correta é: 0,859375 < A < 1,609375.