Para calcular a integral de superfície da função escalar \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 \) sobre a superfície \( S \), que é a parte do plano \( z = 3 \) dentro do círculo \( x^2 + y^2 \leq 1 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Parametrização da Superfície: A superfície \( S \) pode ser parametrizada como \( \mathbf{r}(x, y) = (x, y, 3) \), onde \( (x, y) \) varia dentro do círculo \( x^2 + y^2 \leq 1 \). 2. Cálculo do Elemento de Área: O elemento de área \( dS \) para a superfície plana é simplesmente \( dS = dx \, dy \) porque a superfície está em um plano. 3. Substituição na Integral: A função \( f(x, y, z) \) se torna \( f(x, y, 3) = x^2 + y^2 \). Portanto, a integral de superfície se torna: \[ \iint_S f(x, y, 3) \, dS = \iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy \] onde \( D \) é a região do círculo \( x^2 + y^2 \leq 1 \). 4. Mudança para Coordenadas Polares: Para facilitar o cálculo, podemos usar coordenadas polares, onde \( x = r \cos(\theta) \) e \( y = r \sin(\theta) \). Assim, \( dx \, dy = r \, dr \, d\theta \) e a função se torna: \[ f(r, \theta) = r^2 \] A integral se transforma em: \[ \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^3 \, dr \] 5. Cálculo das Integrais: - A integral em \( r \): \[ \int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4} \] - A integral em \( \theta \): \[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \] 6. Resultado Final: \[ \text{Integral total} = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \] Portanto, o resultado da integral de superfície é \( \frac{\pi}{2} \). A alternativa correta é: a) π/2.