Para calcular a soma inferior e superior da área sob a curva da função \( f(x) = -x^3 + 2x \) no intervalo \([0, 1]\) dividindo a região em 4 retângulos, vamos seguir os passos: 1. Divisão do intervalo: O intervalo \([0, 1]\) dividido em 4 partes iguais resulta em subintervalos de comprimento \( \Delta x = \frac{1-0}{4} = 0,25 \). 2. Pontos de amostragem: Para a soma inferior, usamos o ponto esquerdo de cada subintervalo, e para a soma superior, usamos o ponto direito. - Subintervalos: - \([0, 0,25]\) - \([0,25, 0,5]\) - \([0,5, 0,75]\) - \([0,75, 1]\) 3. Cálculo das alturas: - Para \( x_0 = 0 \): \( f(0) = -0^3 + 2(0) = 0 \) - Para \( x_1 = 0,25 \): \( f(0,25) = -(0,25)^3 + 2(0,25) = -0,015625 + 0,5 = 0,484375 \) - Para \( x_2 = 0,5 \): \( f(0,5) = -(0,5)^3 + 2(0,5) = -0,125 + 1 = 0,875 \) - Para \( x_3 = 0,75 \): \( f(0,75) = -(0,75)^3 + 2(0,75) = -0,421875 + 1,5 = 1,078125 \) 4. Soma inferior (usando os pontos esquerdos): \[ A_{inf} = f(0) \cdot \Delta x + f(0,25) \cdot \Delta x + f(0,5) \cdot \Delta x + f(0,75) \cdot \Delta x \] \[ A_{inf} = 0 \cdot 0,25 + 0,484375 \cdot 0,25 + 0,875 \cdot 0,25 + 1,078125 \cdot 0,25 \] \[ A_{inf} = 0 + 0,12109375 + 0,21875 + 0,26953125 = 0,609375 \] 5. Soma superior (usando os pontos direitos): \[ A_{sup} = f(0,25) \cdot \Delta x + f(0,5) \cdot \Delta x + f(0,75) \cdot \Delta x + f(1) \cdot \Delta x \] \[ A_{sup} = 0,484375 \cdot 0,25 + 0,875 \cdot 0,25 + 1,078125 \cdot 0,25 + f(1) \cdot 0,25 \] \[ f(1) = -1^3 + 2(1) = -1 + 2 = 1 \] \[ A_{sup} = 0,484375 \cdot 0,25 + 0,875 \cdot 0,25 + 1,078125 \cdot 0,25 + 1 \cdot 0,25 \] \[ A_{sup} = 0,12109375 + 0,21875 + 0,26953125 + 0,25 = 0,859375 \] Portanto, temos: \[ 0,609375 < A < 0,859375 \] A alternativa correta é: 0,609375 < A < 0,859375.