Um engenheiro está analisando a forma de uma superfície metálica descrita pela função z=4-x2-y2 para estudar a inclinação da superfície em diferentes

Question

Um engenheiro está analisando a forma de uma superfície metálica descrita pela função z=4-x2-y2 para estudar a inclinação da superfície em diferentes direções. O gráfico abaixo mostra a superfície, a curva de interseção com o plano x=1 e a reta tangente a essa curva no ponto (1,1,2). Fonte: Ana Paula de Andrade Janz Elias, gráfico gerado por IA (2025). Com base no gráfico e na função fornecida, determine a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano x = 1, no ponto (1,1,2). A A inclinação é -2, pois a derivada parcial em relação a y no ponto é ∂z ∂y =−2y. B A inclinação é 2, pois a derivada parcial em relação a x no ponto é ∂z ∂x =−2x. C A inclinação é -1, pois a curva é simétrica e o ponto está na diagonal. D A inclinação é zero, pois o ponto está no topo da superfície

Ed · Answer

Vamos analisar passo a passo:

A superfície é dada por:  
$$ z = 4 - x^2 - y^2 $$

Queremos a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano $ x = 1 $ no ponto $ (1,1,2) $.

1. Fixando $ x = 1 $, a curva de interseção é:  
$$ z = 4 - 1^2 - y^2 = 3 - y^2 $$

2. A curva no plano $ x=1 $ é dada por:  
$$ z(y) = 3 - y^2 $$

3. A inclinação da reta tangente a essa curva no ponto $ y=1 $ é a derivada de $ z $ em relação a $ y $:  
$$ \frac{dz}{dy} = -2y $$

4. Avaliando em $ y=1 $:  
$$ \frac{dz}{dy} = -2 \times 1 = -2 $$

Portanto, a inclinação da reta tangente à curva no ponto $ (1,1,2) $ é $-2$.

Resposta correta:  
**A) A inclinação é -2, pois a derivada parcial em relação a y no ponto é $\partial z / \partial y = -2y$.**

Cálculo

Respostas

Libere essa resposta sem enrolação!

Ainda com dúvidas?

Perguntas dessa disciplina

Geometricamente, o que representa o valor da derivada f em um ponto específico da função? conteúdo da aula 1 A A área sob a curva naquele ponto B O co

3) Considere dois sinais discretos x[n] e h[n], sendo h[n] a resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo (SLIT). A saída y[n] do sist

Com base no gráfico e na função fornecida, determine a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano x = 1, no ponto (1,

Entre os elementos principais da circunferência, destacam-se o centro, o raio, o diâmetro, a corda, o arco e a _________. O centro é o ponto equidista

Conteúdos escolhidos para você

LISTA DE CALULO II CAP.14 6

Cálculo de Derivadas e Planos

C2 Lista de Monitoria 14 - 2023_4

Exercicios Calculo (135)

Mais conteúdos dessa disciplina