1ª questão Calcular a integral tripla [[](y+x²)zdV + sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 1≤#≤20≤y≤1,-3≤:<5.

Vamos resolver a integral tripla passo a passo. Integral: \(\iiint (y + x^2) z \, dV\) Região de integração (paralelepípedo): - \(1 \leq x \leq 2\) - \(0 \leq y \leq 1\) - \(-3 \leq z \leq 5\) --- Passo 1: Escrever a integral com os limites \[ \int_{x=1}^{2} \int_{y=0}^{1} \int_{z=-3}^{5} (y + x^2) z \, dz \, dy \, dx \] --- Passo 2: Integrar em relação a \(z\) \[ \int_{z=-3}^{5} (y + x^2) z \, dz = (y + x^2) \int_{-3}^{5} z \, dz = (y + x^2) \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{-3}^{5} \] Calcule o valor da integral em \(z\): \[ \frac{5^2}{2} - \frac{(-3)^2}{2} = \frac{25}{2} - \frac{9}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] Então, \[ \int_{-3}^{5} (y + x^2) z \, dz = 8 (y + x^2) \] --- Passo 3: Integrar em relação a \(y\) \[ \int_{0}^{1} 8 (y + x^2) \, dy = 8 \int_{0}^{1} (y + x^2) \, dy = 8 \left[ \frac{y^2}{2} + x^2 y \right]_0^1 = 8 \left( \frac{1}{2} + x^2 \right) = 8 \left( x^2 + \frac{1}{2} \right) \] --- Passo 4: Integrar em relação a \(x\) \[ \int_{1}^{2} 8 \left( x^2 + \frac{1}{2} \right) dx = 8 \int_{1}^{2} \left( x^2 + \frac{1}{2} \right) dx = 8 \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x}{2} \right]_1^2 \] Calcule os valores: \[ \left( \frac{2^3}{3} + \frac{2}{2} \right) - \left( \frac{1^3}{3} + \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{8}{3} + 1 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{8}{3} + \frac{3}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = \frac{11}{3} - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) \] \[ = \frac{11}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{10}{3} - \frac{1}{2} = \frac{20}{6} - \frac{3}{6} = \frac{17}{6} \] Multiplicando por 8: \[ 8 \times \frac{17}{6} = \frac{136}{6} = \frac{68}{3} \] --- Resposta final: \[ \boxed{\frac{68}{3}} \]