assinale a laternativa correta que corresponde aos valores maximos e minimos que a função f(x,y) = x^2 + 2y^2 assume no circulo x^2 + y^2 = 1

Question

Ed · Answer

Vamos resolver passo a passo o problema:

Função: $ f(x,y) = x^2 + 2y^2 $  
Restrição: $ x^2 + y^2 = 1 $ (círculo de raio 1)

**Passo 1: Usar multiplicadores de Lagrange**

Definimos:  
$ g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 $

Montamos o sistema:  
$$
\nabla f = \lambda \nabla g
$$

Calculando os gradientes:  
$$
\nabla f = (2x, 4y), \quad \nabla g = (2x, 2y)
$$

Então:  
$$
2x = \lambda 2x \quad \Rightarrow \quad 2x = 2\lambda x
$$
$$
4y = \lambda 2y \quad \Rightarrow \quad 4y = 2\lambda y
$$

**Passo 2: Analisar os casos**

- Se $ x \neq 0 $, da primeira equação:  
$$
2 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 1
$$

- Se $ y \neq 0 $, da segunda equação:  
$$
4 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 2
$$

Para que as duas condições sejam verdadeiras simultaneamente, ou $x=0$ ou $y=0$.

**Caso 1: $x=0$**  
Restrição: $0^2 + y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$  
Função: $f(0, \pm 1) = 0 + 2(1)^2 = 2$

**Caso 2: $y=0$**  
Restrição: $x^2 + 0 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$  
Função: $f(\pm 1, 0) = (1)^2 + 0 = 1$

**Passo 3: Conclusão**

- Valor mínimo de $f$ no círculo: 1 (em $(\pm 1, 0)$)  
- Valor máximo de $f$ no círculo: 2 (em $(0, \pm 1)$)

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**Resposta:**  
Valores mínimos: 1  
Valores máximos: 2

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