Ajuda em Questão) Quais valores para 'a' e para 'b' para que a tornam a afirmação verdadeira?

Tá bom, vai ser meio longa, mas bora lá.

Pra começar, note que, quando x → 2, o denominador tende a 0 e assim o limite tenderia para ∞. Maaas, como o numerador é um polinômio do segundo grau, ele poderia ser fatorado da seguinte forma:

2x² + ax + b = 2(x² + a/2 x + b/2) = 2(x - r1)(x - r2)

com r1 e r2 as raízes dessa parábola. Então, o limite ficaria:

                     2x² + ax + b      2(x - r1)(x - r2)

lim_{x → 2} ----------------- = --------------------

                          (x - 2)                  (x - 2)

A primeira coisa que tem que acontecer pra esse limite não ir pra infinito é que uma das raízes seja 2, pois assim a gente teria os termos (x - 2) em cima e embaixo e daria para cortá-los. Então, vamos supor que r1 = 2. Com isso, cortando em cima e embaixo, o limite fica

lim_{x → 2} 2(x - r2)

e isso tem que ser igual a 12. Substituindo x por 2, a gente tem:

2(2 - r2) = 12
2 - r2 = 6
r2 = -4

Logo, as raízes dessa parte de cima têm que ser iguais a 2 e -4. Agora é só proceder com o Bhaskara que o Jhow ali em cima havia falado para achar as raízes de 2x² + ax + b:

raízes = [-a ± √(a² - 8b)] / (2*2)
           = [-a ± √(a² - 8b)] / 4

Agora, pensa: dentre as raízes 2 e -4, como 2 > -4, é razoável pensar que quando usarmos o sinal de +, vamos obter a raiz 2, e quando usarmos o sinal de -, teremos -4. Então, ao trabalho:

Usando o sinal +:

[-a + √(a² - 8b)] / 4 = 2
-a + √(a² - 8b) = 8
√(a² - 8b) = 8 + a (eq 1)

Vamos chamar esse troço todo de (eq 1). Agora, bora fazer a mesma coisa com o sinal de -:

[-a - √(a² - 8b)] / 4 = -4
-a - √(a² - 8b) = -16

Como, da eq 1, o termo da raiz √(a² - 8b) é igual a (8+a), substituindo:

-a - (8 + a) = -16
-2a = -8
a = 4

Finalmente, usando de novo a eq 1:

√(a² - 8b) = 8 + a  (substituindo a por 4)
√(16 - 8b) = 12      (elevando ao quadrado)
16 - 8b = 144
-8b = 128
b = -16

Assim, para a solução do seu problema, a = 4 e b = -16. Se eu não tiver feito bobagem, pode substituir no limite original que vai dar certo!

Tem como melhorar a pergunta?
Qual que é a afirmação? Você quer que o limite seja igual a algum valor específico? Ou só que ele exista?