Vamos resolver passo a passo a integral tripla da função f(x, y, z) = x na região limitada pelas superfícies: - x + y + z = 3 - x = 0 - y = 0 - z = 0 Passo 1: Entender a região de integração A região é o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano x + y + z = 3 e pelos planos coordenados. Passo 2: Definir os limites de integração Como x, y, z ≥ 0 e x + y + z ≤ 3, podemos integrar na ordem dz dy dx: - Para um dado x e y, z varia de 0 até 3 - x - y - Para um dado x, y varia de 0 até 3 - x - x varia de 0 até 3 Passo 3: Montar a integral \[ \int_{x=0}^3 \int_{y=0}^{3 - x} \int_{z=0}^{3 - x - y} x \, dz \, dy \, dx \] Passo 4: Integrar em relação a z \[ \int_0^3 \int_0^{3 - x} \left[ x \cdot z \right]_0^{3 - x - y} dy \, dx = \int_0^3 \int_0^{3 - x} x (3 - x - y) dy \, dx \] Passo 5: Integrar em relação a y \[ \int_0^3 \left[ x \left( (3 - x) y - \frac{y^2}{2} \right) \right]_0^{3 - x} dx = \int_0^3 x \left( (3 - x)(3 - x) - \frac{(3 - x)^2}{2} \right) dx \] Simplificando dentro do parênteses: \[ (3 - x)^2 - \frac{(3 - x)^2}{2} = \frac{(3 - x)^2}{2} \] Então a integral fica: \[ \int_0^3 x \cdot \frac{(3 - x)^2}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^3 x (3 - x)^2 dx \] Passo 6: Expandir e integrar Expanda (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2 Então: \[ \frac{1}{2} \int_0^3 x (9 - 6x + x^2) dx = \frac{1}{2} \int_0^3 (9x - 6x^2 + x^3) dx \] Integrando termo a termo: \[ \frac{1}{2} \left[ \frac{9x^2}{2} - 2x^3 + \frac{x^4}{4} \right]_0^3 = \frac{1}{2} \left( \frac{9 \cdot 9}{2} - 2 \cdot 27 + \frac{81}{4} \right) \] Calculando: \[ \frac{1}{2} \left( \frac{81}{2} - 54 + \frac{81}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( 40.5 - 54 + 20.25 \right) = \frac{1}{2} (6.75) = 3.375 \] Passo 7: Converter para fração 3.375 = 27/8 Resposta correta: C) 27/8