Para calcular o volume do sólido que se encontra abaixo do plano \(3x + y + z = 12\) e acima do retângulo \(R = \{(x, y) | 0 \leq x \leq 1, -2 \leq y \leq 3\}\), precisamos primeiro expressar \(z\) em função de \(x\) e \(y\): \[ z = 12 - 3x - y \] Agora, o volume \(V\) pode ser calculado pela integral dupla: \[ V = \iint_R (12 - 3x - y) \, dA \] onde \(dA = dy \, dx\) e \(R\) é o retângulo definido pelos limites de \(x\) e \(y\). Os limites de integração são: - Para \(x\): de \(0\) a \(1\) - Para \(y\): de \(-2\) a \(3\) Assim, a integral fica: \[ V = \int_0^1 \int_{-2}^{3} (12 - 3x - y) \, dy \, dx \] Vamos calcular a integral interna primeiro: \[ \int_{-2}^{3} (12 - 3x - y) \, dy = \left[ (12 - 3x)y - \frac{y^2}{2} \right]_{-2}^{3} \] Calculando os limites: 1. Para \(y = 3\): \[ (12 - 3x)(3) - \frac{3^2}{2} = 36 - 9x - \frac{9}{2} = 36 - 9x - 4.5 = 31.5 - 9x \] 2. Para \(y = -2\): \[ (12 - 3x)(-2) - \frac{(-2)^2}{2} = -24 + 6x - 2 = 6x - 26 \] Agora, subtraímos os resultados: \[ (31.5 - 9x) - (6x - 26) = 31.5 - 9x - 6x + 26 = 57.5 - 15x \] Agora, integramos em relação a \(x\): \[ V = \int_0^1 (57.5 - 15x) \, dx = \left[ 57.5x - \frac{15x^2}{2} \right]_0^1 \] Calculando os limites: \[ = 57.5(1) - \frac{15(1)^2}{2} = 57.5 - 7.5 = 50 \] Portanto, o volume do sólido é \(50\). A alternativa correta é: D) 50.