Vamos resolver passo a passo a área entre as curvas dadas: As funções são: \( y = \csc^2 x \) e \( y = 2 + \cot^2 x \). Primeiro, vamos lembrar das identidades trigonométricas importantes: \[ \csc^2 x = 1 + \cot^2 x \] Assim, podemos reescrever \( y = 2 + \cot^2 x \) como: \[ y = 2 + \cot^2 x = 1 + \cot^2 x + 1 = \csc^2 x + 1 \] Portanto, as duas funções são: \[ y_1 = \csc^2 x \] \[ y_2 = \csc^2 x + 1 \] A diferença entre as funções é: \[ y_2 - y_1 = (\csc^2 x + 1) - \csc^2 x = 1 \] Ou seja, a diferença é constante e igual a 1. Agora, precisamos do intervalo de integração. Como não foi especificado no enunciado, vamos supor que o intervalo seja de \( x = a \) até \( x = b \), dentro do domínio onde as funções são definidas. A área entre as curvas é dada por: \[ A = \int_a^b (y_2 - y_1) \, dx = \int_a^b 1 \, dx = b - a \] Conclusão: - A área entre as curvas \( y = \csc^2 x \) e \( y = 2 + \cot^2 x \) em um intervalo \([a, b]\) é simplesmente \( b - a \). - Para determinar o valor numérico, é necessário conhecer o intervalo de integração. Se você informar o intervalo, posso calcular o valor exato da área.