Vamos resolver passo a passo para garantir a continuidade das funções em todos os pontos indicados. (a) Função f(x): \[ f(x) = \begin{cases} x, & x \leq 1 \\ Ax + B, & 1 < x < 4 \\ -2x, & x \geq 4 \end{cases} \] Queremos que f seja contínua em \(x=1\) e \(x=4\). 1. Continuidade em \(x=1\): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = 1 \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = A(1) + B = A + B \] Para continuidade: \[ A + B = 1 \] 2. Continuidade em \(x=4\): \[ \lim_{x \to 4^-} f(x) = A(4) + B = 4A + B \] \[ \lim_{x \to 4^+} f(x) = -2(4) = -8 \] Para continuidade: \[ 4A + B = -8 \] Resolvendo o sistema: \[ \begin{cases} A + B = 1 \\ 4A + B = -8 \end{cases} \] Subtraindo a primeira da segunda: \[ (4A + B) - (A + B) = -8 - 1 \implies 3A = -9 \implies A = -3 \] Substituindo em \(A + B = 1\): \[ -3 + B = 1 \implies B = 4 \] Logo, \(A = -3\) e \(B = 4\). --- (b) Função f(x): \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 8}{x - 2}, & x \neq 2 \\ A, & x = 2 \end{cases} \] Queremos que f seja contínua em \(x=2\). Note que: \[ x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \] Logo, para \(x \neq 2\): \[ f(x) = x^2 + 2x + 4 \] Calculando o limite em \(x=2\): \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \] Para continuidade: \[ A = 12 \] --- Resposta final: - (a) \(A = -3\), \(B = 4\) - (b) \(A = 12\)