Questão 8 As integrais curvilíneas permitem calcular integrais de funções que variam sobre curvas no plano ou no espaço. Elas são utilizadas para calc

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Questão 8 As integrais curvilíneas permitem calcular integrais de funções que variam sobre curvas no plano ou no espaço. Elas são utilizadas para calcular grandezas acumuladas ao longo de uma trajetória, como o trabalho realizado por uma força ou a soma de uma grandeza distribuída ao longo de um caminho. Fonte: RISPOLI, V. C.; FRAGELLI, R. R.; AMORIM, R. G. G. Cálculo Diferencial e Integral II. Maringá: Unicesumar, 2018. Considere a função escalar f(x,y) = x+y definida ao longo da curva C, que é o segmento de reta que liga os pontos (0,0) a (1,1). Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da integral curvilínea seguinte: Alternativas Alternativa 1: 1. Alternativa 2: 2. Alternativa 3: 4. Alternativa 4: √2. Alternativa 5: 2√2.

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Vamos resolver passo a passo a integral curvilínea da função escalar f(x,y) = x + y ao longo da curva C, que é o segmento de reta de (0,0) a (1,1).

1. Parametrização da curva C:
Como é um segmento de reta de (0,0) a (1,1), podemos parametrizar por:
r(t) = (t, t), com t variando de 0 a 1.

2. Função ao longo da curva:
f(r(t)) = x + y = t + t = 2t.

3. Comprimento do elemento de arco ds:
Como r(t) = (t, t), derivada r'(t) = (1,1).
O módulo |r'(t)| = √(1² + 1²) = √2.
Então, ds = |r'(t)| dt = √2 dt.

4. Integral curvilínea:
∫_C f(x,y) ds = ∫₀¹ f(r(t)) * |r'(t)| dt = ∫₀¹ 2t * √2 dt = √2 ∫₀¹ 2t dt = √2 * [t²]_0^1 = √2 * 1 = √2.

Portanto, o valor da integral curvilínea é √2.

Resposta correta: Alternativa 4: √2.

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