Vamos resolver passo a passo para determinar o diâmetro mínimo do eixo. Dados: - Torque estático \( T = 180 \, Nm = 180 \times 10^3 \, Nmm \) - Momento fletor alternado \( M = 420 \, Nm = 420 \times 10^3 \, Nmm \) - Tensão de escoamento \( \sigma_e = 320 \, MPa \) - Limite de fadiga \( \sigma_f = 210 \, MPa \) - Coeficiente de segurança \( n = 1,6 \) - Fator de concentração de tensão \( K_t = 1,4 \) --- ### Passo 1: Calcular as tensões máximas admissíveis considerando o coeficiente de segurança - Tensão admissível para fadiga: \[ \sigma_{adm} = \frac{\sigma_f}{n} = \frac{210}{1,6} = 131,25 \, MPa \] - Tensão admissível para escoamento: \[ \sigma_{e,adm} = \frac{\sigma_e}{n} = \frac{320}{1,6} = 200 \, MPa \] --- ### Passo 2: Calcular as tensões de flexão e torção no eixo - Tensão de flexão máxima (alternada): \[ \sigma_f = \frac{32 M}{\pi d^3} \times K_t \] - Tensão de torção máxima (estática): \[ \tau = \frac{16 T}{\pi d^3} \times K_t \] --- ### Passo 3: Critério de falha (por exemplo, de Goodman modificado para fadiga) A tensão equivalente combinada é dada por: \[ \sigma_{eq} = \sqrt{\sigma_f^2 + 3 \tau^2} \] Para segurança: \[ \sigma_{eq} \leq \sigma_{adm} \] --- ### Passo 4: Substituir as expressões de \(\sigma_f\) e \(\tau\): \[ \sigma_f = \frac{32 M K_t}{\pi d^3} \] \[ \tau = \frac{16 T K_t}{\pi d^3} \] Logo, \[ \sigma_{eq} = \sqrt{\left(\frac{32 M K_t}{\pi d^3}\right)^2 + 3 \left(\frac{16 T K_t}{\pi d^3}\right)^2} \leq \sigma_{adm} \] --- ### Passo 5: Isolar \(d^3\): \[ \sigma_{adm} \geq \frac{K_t}{\pi d^3} \sqrt{(32 M)^2 + 3 (16 T)^2} \] \[ d^3 \geq \frac{K_t}{\pi \sigma_{adm}} \sqrt{(32 M)^2 + 3 (16 T)^2} \] --- ### Passo 6: Calcular o valor numérico Calcule o termo dentro da raiz: \[ (32 M)^2 = (32 \times 420000)^2 = (13.440.000)^2 = 1,806 \times 10^{14} \] \[ 3 (16 T)^2 = 3 \times (16 \times 180000)^2 = 3 \times (2.880.000)^2 = 3 \times 8,294 \times 10^{12} = 2,488 \times 10^{13} \] Soma: \[ 1,806 \times 10^{14} + 2,488 \times 10^{13} = 2,0548 \times 10^{14} \] Raiz quadrada: \[ \sqrt{2,0548 \times 10^{14}} = 1,434 \times 10^7 \] --- ### Passo 7: Calcular \(d^3\): \[ d^3 \geq \frac{1,4}{\pi \times 131,25} \times 1,434 \times 10^7 \] \[ \pi \times 131,25 = 412,5 \] \[ d^3 \geq \frac{1,4}{412,5} \times 1,434 \times 10^7 = 0,003395 \times 1,434 \times 10^7 = 48690 \, mm^3 \] --- ### Passo 8: Calcular \(d\): \[ d = \sqrt[3]{48690} \approx 36,8 \, mm \] --- ### Passo 9: Escolher a alternativa mais próxima Alternativas: - A) 19,6 mm - B) 24,2 mm - C) 35,9 mm - D) 38,2 mm - E) 40,7 mm O valor calculado (36,8 mm) está entre 35,9 mm (C) e 38,2 mm (D), mais próximo de 38,2 mm. --- ### Resposta correta: D) 38,2 mm