Calcule o volume do sólido que não contém a origem e é limitado pelas superfícies z = 4 − x2 − y2, x2 + y2 = 1 e z = 0.

Vamos resolver passo a passo o cálculo do volume do sólido limitado pelas superfícies: - \( z = 4 - x^2 - y^2 \) (superfície superior) - \( x^2 + y^2 = 1 \) (curva de projeção no plano xy) - \( z = 0 \) (plano inferior) Passo 1: Entender a região A região está entre o plano \( z=0 \) e a superfície paraboloide \( z = 4 - x^2 - y^2 \), limitada lateralmente pelo cilindro \( x^2 + y^2 = 1 \). Passo 2: Usar coordenadas polares Como a região é circular no plano xy, é mais fácil usar coordenadas polares: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad r \in [0,1], \quad \theta \in [0, 2\pi] \] Passo 3: Expressar o volume O volume \( V \) é dado por: \[ V = \iint_{D} (4 - r^2) \, dA \] onde \( D \) é o disco \( r \in [0,1], \theta \in [0, 2\pi] \), e \( dA = r \, dr \, d\theta \). Passo 4: Montar a integral \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (4 - r^2) \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (4r - r^3) \, dr \, d\theta \] Passo 5: Calcular a integral interna \[ \int_0^1 (4r - r^3) dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = 2(1)^2 - \frac{1^4}{4} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \] Passo 6: Calcular a integral externa \[ V = \int_0^{2\pi} \frac{7}{4} d\theta = \frac{7}{4} \cdot 2\pi = \frac{7\pi}{2} \] Resposta final: \[ \boxed{V = \frac{7\pi}{2}} \] O volume do sólido é \(\frac{7\pi}{2}\) unidades cúbicas.