Vamos responder passo a passo para a função \( f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1} \): (a) Domínio de \( f \): O denominador não pode ser zero: \( x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq \pm 1 \) Logo, o domínio é: \( \boxed{D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}} \) (b) Limites em \( x \to \pm \infty \) e assíntotas: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{x^2}} = 1 \] Então, há uma assíntota horizontal em \( y = 1 \). Para \( x \to 1^\pm \): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2}{x^2 - 1} = +\infty \quad (\text{denominador tende a } 0^-) \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty \quad (\text{denominador tende a } 0^+) \] Para \( x \to -1^\pm \): \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty \] Logo, há assíntotas verticais em \( x = \pm 1 \). (c) Derivada \( f'(x) \) e seu sinal: Usando a regra do quociente: \[ f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1} \] \[ f'(x) = \frac{2x(x^2 - 1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(x^2 - 1) - 2x^3}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(x^2 - 1 - x^2)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(-1)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2} \] O denominador é sempre positivo (quadrado), então o sinal de \( f'(x) \) depende de \( -2x \): - Para \( x > 0 \), \( f'(x) < 0 \) (função decrescente) - Para \( x < 0 \), \( f'(x) > 0 \) (função crescente) (d) Segunda derivada \( f''(x) \) e seu sinal: Derivando \( f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2} \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( -2x (x^2 - 1)^{-2} \right) \] Usando a regra do produto: \[ f''(x) = -2 (x^2 - 1)^{-2} + (-2x) \cdot (-2) (x^2 - 1)^{-3} \cdot 2x \] \[ = -2 (x^2 - 1)^{-2} + 8x^2 (x^2 - 1)^{-3} \] Colocando em denominador comum: \[ f''(x) = \frac{-2 (x^2 - 1) + 8x^2}{(x^2 - 1)^3} = \frac{-2x^2 + 2 + 8x^2}{(x^2 - 1)^3} = \frac{6x^2 + 2}{(x^2 - 1)^3} \] Analisando o sinal: - Numerador: \(6x^2 + 2 > 0\) para todo \(x\) - Denominador: \((x^2 - 1)^3\) muda de sinal em \(x = \pm 1\) - Para \(|x| > 1\), \(x^2 - 1 > 0\), então denominador positivo - Para \(|x| < 1\), \(x^2 - 1 < 0\), então denominador negativo Logo: - \(f''(x) > 0\) para \(|x| > 1\) (concavidade para cima) - \(f''(x) < 0\) para \(|x| < 1\) (concavidade para baixo) (e) Esboço do gráfico: - Domínio: \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \) - Assíntotas verticais: \( x = \pm 1 \) - Assíntota horizontal: \( y = 1 \) - Crescente para \( x < 0 \), decrescente para \( x > 0 \) - Concavidade para baixo entre \(-1\) e \(1\), para cima fora desse intervalo - Limites nas assíntotas verticais indicam que a função vai para \( \pm \infty \) conforme o lado Com essas informações, você pode desenhar o gráfico com as características acima. Se precisar de ajuda para o esboço, me avise!