AD2_MD2-2017 1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2017
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 2 - AD2
Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = x
2
x2−1
(a) Determine o domı´nio de f ;
(b) Calcule os limites de x→ ±∞ e depois discuta sobre as assintotas da func¸a˜o.
(c) Calcule e estude o sinal de f ′(x);
(d) Calcule e estude o sinal de f ′′(x);
(e) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: a) Veja que x2 − 1 = 0 ⇔ x = 1 ou x = −1. Como f e´ uma func¸a˜o racional, ela estara´
definida para todos os nu´meros reais que o denominador na˜o se anula, isto e´, {x ∈ R : x 6= ±1}.
(b) Precisamos calcular os 6 seguintes limites: x → ±1 e x → ±∞. Quatro dos limites: segue da
seguinte observac¸a˜o: se x 6= 0, o numerador sempre e´ positivo. Enta˜o o sinal e´ determinado pelo
denominador que por sua vez e´ um polinoˆmio de segundo grau, com coeficiente que acompanha o
maior grau, positivo. Os outros dois seguem por observar que a frac¸a˜o pode ser reescrita da seguinte
forma: x
2
x2−1 =
(
x2
x2
)(
1
1−1/x2
)
lim
x→1−
f(x) = −∞ lim
x→1+
f(x) = +∞
lim
x→−1−
f(x) = +∞ lim
x→−1+
f(x) = −∞
lim
x→−∞ f(x) = 1 limx→+∞ f(x) = 1
Portanto, x = ±1 sa˜o assintotas verticais e y = 1 sa˜o assintotas horizontais.
(c) Derivando temos
f ′(x) = − 2x
(x2 − 1)2 .
Como o denominador esta elevado ao quadrado. Quem controla o sinal da f ′ e´ o numerador −2x.
Logo, f ′(x) > 0 se x < 0 e para x > 0 temos f ′(x) < 0.
(d) Derivando novamente temos:
f ′′(x) =
6x2 + 2
(x2 − 1)3
Como o numerador sempre e´ positivo, quem controla o sinal da f ′′ e´ o denominador x2 − 1. Como
x2 − 1 < 0 se −1 < x < 1 e no restante e´ positivo, temos que f ′′(x) < 0 se −1 < x < 1.
(e) Iniciemos trac¸ando as assintotas x = ±1 e y = 1. Identifiquemos para onde a func¸a˜o tende quando
x → ±1± e tambe´m quando x → ±∞. Veja que a func¸a˜o e´ crescente para todo x < 0. Quando
x < −1 a func¸a˜o tem concavidade para cima. Quando −1 < x < 1 a concavidade fica voltada para
baixo e ela e´ crescente quando −1 < x < 0 e decrescente entre 0 < x < 1. Isto quer dizer que x = 0
e´ um ponto de ma´ximo local. Calculando f(0) = 0, com isso podemos fazer o esboc¸o do gra´fico entre
−1 < x < 1. O resto do gra´fico segue por considerac¸o˜es semelhantes as feita no caso x < −1.
1
Questa˜o 2 [2,0 pts] A receita, em reais, para a produc¸a˜o de q unidades e´ dado por
R(q) = 500q − q2
e o custo total e´
C(q) = 150 + 10q.
Escreva a func¸a˜o Lucro, e encontre a quantidade de produc¸a˜o que maximize o lucro.
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o lucro e´ dada por
L(q) = R(q)− C(q) = (500q − q2)− (150 + 10q) = −q2 + 490q − 150
Derivando e igualando a zero
L′(q) = −2q + 490 = 0⇔ q = 245.
Como a func¸a˜o L e´ um polinoˆmio de grau 2 e a constante que acompanha x2 e´ negativo. O valor
cr´ıtico necessariamente e´ um valor de ma´ximo global. Portanto, se produzir 245 unidades maximizara´
o lucro.
Questa˜o 3: [3,0 pts] Encontre as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =
√
x+
3
x3 + 2
b) g(t) =
et + 1
1− et
Soluc¸a˜o: a)
f ′(x) =
1
2
√
x
− 9x
2
(x3 + 2)2
b)
g′(t) =
2et
(et − 1)2
Questa˜o 4: [2,0 pts] Para cada constante d, seja f(x) = dx− x lnx para x > 0.
2
(a) Qual o valor de x no qual o gra´fico de f(x) intercepta o eixo dos x;
(b) Fac¸a o gra´fico de f(x) quando d = −1 e d = 1.
(c) Para quais valores de d a func¸a˜o f(x) tem valor cr´ıtico em algum ponto x > 0? Encontre a
coordenada do ponto cr´ıtico e decida se o ponto e´ de mı´nimo local, ou ma´ximo local, ou nenhum deles.
Soluc¸a˜o: (a) Para encontrar os valores de x nos quais f(x) intercepta o eixo y, devemos resolver
dx− x lnx = 0, como x > 0⇔ d = lnx⇔ x = ed.
(b) Queremos fazer o gra´fico de f quando d = ±1. Quando d = −1 seja fa(x) = −x− x lnx e quando
d = 1 seja fb(x) = x− x lnx
(c) Dada uma func¸a˜o g definida num intervalo I, dizemos que a ∈ I e´ um valor cr´ıtico se g′(a) = 0.
No nosso caso temos que
f ′(x) = d− lnx− x
x
= d− 1− lnx = 0⇔ x = ed−1.
Logo para todo d, existe um valor x0 = e
d−1 e como ed−1 > 0 segue que e´ ponto cr´ıtico de f .
Avaliando temos f(ed−1) = ed−1.
Pelo gra´fico da fa e fb este valor cr´ıtico deve ser de ma´ximo. Ale´m disso, para valores menores de
x0, a derivada e´ positiva e para valores maiores a derivada e´ negativa e isto quer dizer que a func¸a˜o f
e´ crescente antes de x0 e decrescente depois. Isto e´ um forte indicativo de que este ponto e´ de ma´ximo
local.
3