Vamos responder passo a passo: Função dada: \( f(x) = \frac{x^4 + 1}{x^2} \) --- a) Domínio de \( f \): O denominador \( x^2 \) não pode ser zero, então: \[ x \neq 0 \] Logo, o domínio é: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \] --- b) Calcule \( f' \) e \( f'' \): Primeiro, simplificamos a função para facilitar a derivação: \[ f(x) = \frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} \] Derivando: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 + x^{-2} \right) = 2x - 2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3} \] Derivando novamente: \[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x - 2x^{-3} \right) = 2 + 6x^{-4} = 2 + \frac{6}{x^4} \] --- c) Estudo do sinal de \( f' \) e \( f'' \): - \( f'(x) = 2x - \frac{2}{x^3} = \frac{2x^4 - 2}{x^3} = \frac{2(x^4 - 1)}{x^3} \) Zeros de \( f' \): \[ x^4 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \] Análise do sinal de \( f' \): - Para \( x < -1 \): \( x^4 - 1 > 0 \), \( x^3 < 0 \) → \( f'(x) = \frac{+}{-} = - \) → decrescente - Para \( -1 < x < 0 \): \( x^4 - 1 < 0 \), \( x^3 < 0 \) → \( f'(x) = \frac{-}{-} = + \) → crescente - Para \( 0 < x < 1 \): \( x^4 - 1 < 0 \), \( x^3 > 0 \) → \( f'(x) = \frac{-}{+} = - \) → decrescente - Para \( x > 1 \): \( x^4 - 1 > 0 \), \( x^3 > 0 \) → \( f'(x) = \frac{+}{+} = + \) → crescente --- - \( f''(x) = 2 + \frac{6}{x^4} \) Como \( x^4 > 0 \) para todo \( x \neq 0 \), temos: \[ f''(x) > 0 \quad \forall x \neq 0 \] Logo, a função é côncava para cima em todo o domínio e não há pontos de inflexão. --- d) Limites: - \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) = +\infty \) - \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \) - \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) = +\infty \) - \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \) --- e) Esboço do gráfico: - Domínio: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) - Crescimento/decrescimento: - Decrescente em \( (-\infty, -1) \) - Crescente em \( (-1, 0) \) - Decrescente em \( (0, 1) \) - Crescente em \( (1, +\infty) \) - Concavidade: sempre para cima - Pontos críticos: \( x = \pm 1 \) - Limites: \( f(x) \to +\infty \) quando \( x \to 0 \) e \( x \to \pm \infty \) --- Se precisar, posso ajudar a desenhar o gráfico com base nessas informações!