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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Me´todos Determin´ısticos II 2o Semestre de 2013 Gabarito da AD2 Questa˜o 1: (2,0 pts) Seja m(x) = { x2 + 3x se x ≤ 1 5x− 1 se x > 1 . a) Mostre pela definic¸a˜o que m e´ deriva´vel em x = 1 e calcule m′(1). b) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de m. Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt - sendo 0,5pt para cada um dos limites) Como a func¸a˜o possui duas leis de definic¸a˜o pro´ximo do ponto x0 = 1 precisamos usar a definic¸a˜o de derivada para conseguirmos calcula´- la. Inicialmente precisamos determinar o limite quando x → 1, mas isso significa que precisamos determinar os limites laterais e verificar se os dois sa˜o iguais. Iniciamos com lim x→1− m(x)−m(1) x− 1 = limx→1− x2 + 3x− 4 x− 1 = limx→1− (x− 1)(x+ 4) x− 1 = 5. lim x→1+ m(x)−m(1) x− 1 = limx→1+ 5x− 1− 4 x− 1 = limx→1+ 5(x− 1) x− 1 = 5. Portanto, os limites laterais sa˜o iguais e vale que m′(1) = 5. b) (Vale 1,0pt) Para fazer um esboc¸o do gra´fico, fac¸a um esboc¸o de x2+3x que e´ uma para´bola com a concavidade voltada para cima e tem ra´ızes x = −3 e x = 0. Apague a parte da para´bola com x > 1 e marque dois pontos da reta y = 5x− 1. E obtera´ algo como Questa˜o 2: (3,0 pts) Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = x 4+1 x2 . a) Determine o domı´nio de f ; b) Calcule f ′ e f ′′; c) Fac¸a um estudo do sinal de f ′ e de f ′′(x). Com essas informac¸o˜es diga onde f e´ cres- cente/decrescente e tambe´m a concavidade e os pontos de inflexa˜o; 1 d) Calcule os limites: x→ 0, x→ −∞ e x→ +∞; e) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f . Soluc¸a˜o: a) (Vale 0,3pt) D(f) = {x ∈ R : x 6= 0}. b) (Vale 0,8pt) reescrevendo f(x) = x 4+1 x2 = x2 + 1 x2 . Derivando obtemos f ′(x) = 2x− 2x−3 e f ′′(x) = 2 + 6x−4. c) (Vale 0,9pt - sendo 0,6pt para o estudo do sinal de f ′(x) e 0,3pt para f ′′(x)) Para fazer o estudo do sinal de f ′(x) observe que podemos reescreveˆ-la da forma f ′(x) = x 2−1 x . Ja´ a segunda derivada f ′′(x) = 2x 4+6 x4 vemos que f ′′(x) > 0 para todo x ∈ D(f). Portanto, f(x) sempre tem a concavidade voltada para cima. Ale´m disso, e´ crescente em (−1, 0) ∪ (1,+∞) e decrescente no complementar. d) (Vale 0,6pt) Os limites laterais de f em 0 sa˜o lim x→0− [ x2 + 1 x2 ] = lim x→0+ [ x2 + 1 x2 ] = +∞. lim x→−∞ [ x2 + 1 x2 ] = +∞ = lim x→−∞ [ x2 + 1 x2 ] . 2 e) (Vale 0,4pt) f(x) na˜o admite ra´ızes. Marque a reta x = 0 como ass´ıntota horizontal e lembre em ambas as vizinhanc¸as dessa reta a func¸a˜o vai para mais infinito. Questa˜o 3: (3,0 pts) Encontre as derivadas das seguintes func¸o˜es: a) f(x) = 3 √ x+ x√ x + √ x. b) g(x) = √ x2 + e √ x. c) h(x) = √ x+ 3 x3 + 2 . d) l(t) = 23t − 2−3t 23t + 2−3t . Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt) f ′(x) = ( 3 √ x+ x)′( √ x)− ( 3√x+ x)(√x) x + 1 2 √ x = (x 1 3 + x)′(x 1 2 )− (x 13 + x)(x 12 )′ x + 1 2 √ x = (13x − 2 3 + 1)(x 1 2 )− (x 13 + x)(12x− 1 2 ) x + 1 2 √ x = (13x − 1 6 + x 1 2 )− (12x− 1 6 + 12x 1 2 ) x + 1 2 √ x = 1√ x − 1 6x7/6 b) (Vale 0,5pt) g(x) = 2x+ e √ x 2 √ x 2 √ x2 + e √ x 3 c) (Vale 0,5pt) h′(x) = 1 2 √ x + −3(3x2) (x3 + 2)2 = 1 2 √ x − 9x 2 (x3 + 2)2 d) (Vale 1,0pt) Para derivar 23t, comec¸amos escrevendo ela da seguinte forma: eln(2 3t). Para simplificar vamos chamar de u(t) = ln 23t = 3t ln(2) e derivando temos u′(t) = 3 ln(2) e derivando eu(t) temos u′(t)eu. Logo, (23t)′ = 3 ln(2)23t. l′(t) = (23t − 2−3t)′(23t + 2−3t)− (23t − 2−3t)(23t + 2−3t)′ (23t − 2−3t)2 = 43t+1 ln(8) (64t + 1)2 Questa˜o 4: (2,0 pts) Determine a reta r sabendo que ela na˜o e´ vertical, que passa pelo ponto (0, 43) e que e´ normal ao gra´fico de y = x3. Soluc¸a˜o: obter a equac¸a˜o da reta normal 0,5pt, obter o coeficiente angular da reta normal 0,5pt, montar o sistema 0,5pt e encontrar uma soluc¸a˜o 0,5pt. Sabemos que a equac¸a˜o de qualquer reta que passa pelo ponto (x0, y0) e tem coeficiente angular m e´ da forma y − y0 = m(x − x0). Por outro lado, o ponto (0, 43) na˜o pertence ao gra´fico de y = x3. Ao derivar e avaliar a derivada no ponto (x1, y1) obtemos o coeficiente angular 3x 2 1 da reta tangente. Mas o coeficiente da reta normal m satisfaz m × 3x21 = −1. E como a reta vertical ja´ foi eliminada, segue que x1 6= 0. Logo, m = − 13x2 1 . Precisamos determinar m, pois ja´ sabemos que (x0, y0) = (0, 4 3). Mas pela construc¸a˜o sabemos que a reta normal intercepta o gra´fico de y = x3 no ponto (x1, y1), com isso obtemos y1 − 4 3 = − 1 3x21 x1 y1 = x 3 1 Resolvendo estas duas equac¸a˜o obtemos: x31 − 4 3 = − 1 3x1 ⇒ 3x41 − 4x1 + 1 = 0. Resolvendo em x1 obtemos facilmente que x1 = 1 e´ uma soluc¸a˜o. Dividindo o polinoˆmio por x1 − 1 obtemos 3x31+3x 2 1+3x1−1 que tem pelo menos mais uma soluc¸a˜o real. Vamos descartar essa soluc¸a˜o, mas o valor aproximado e´ de x1 ≈ 0, 253. Enta˜o para x1 = 1 obtemos a equac¸a˜o y = −x 3 + 4 3 . 4
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