Vamos analisar o problema passo a passo. A equação diferencial dada é: \[ \frac{dy}{dx} \sin x + (\cos x) y = \cos 2x, \quad 0 < x < \pi \] com condição inicial: \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \] Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão: \[ \frac{dy}{dx} + \frac{\cos x}{\sin x} y = \frac{\cos 2x}{\sin x} \] Note que \(\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x\). Então: \[ \frac{dy}{dx} + \cot x \cdot y = \frac{\cos 2x}{\sin x} \] Esta é uma equação linear de primeira ordem. O fator integrante \( \mu(x) \) é: \[ \mu(x) = e^{\int \cot x \, dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x \] Multiplicando toda a equação por \(\sin x\): \[ \sin x \frac{dy}{dx} + \sin x \cot x y = \sin x \cdot \frac{\cos 2x}{\sin x} \] Mas \(\sin x \cot x = \cos x\), e \(\sin x \cdot \frac{\cos 2x}{\sin x} = \cos 2x\), então voltamos à forma original, o que confirma o fator integrante. Agora, a equação fica: \[ \frac{d}{dx} (y \sin x) = \cos 2x \] Integrando ambos os lados: \[ y \sin x = \int \cos 2x \, dx + C = \frac{1}{2} \sin 2x + C \] Logo: \[ y = \frac{1}{\sin x} \left( \frac{1}{2} \sin 2x + C \right) \] Aplicando a condição inicial \( y(\pi/2) = 2 \): \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{\sin(\pi/2)} \left( \frac{1}{2} \sin \pi + C \right) = 1 \cdot (0 + C) = C = 2 \] Portanto, a solução é: \[ y(x) = \frac{1}{\sin x} \left( \frac{1}{2} \sin 2x + 2 \right) \] Comparando com as alternativas, a correta é: a) \( y(x) = \frac{1}{\sin x} \left( \frac{1}{2} \sin 2x + 2 \right) \) Resposta: alternativa a.