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Geometria

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(VUNESP/2020/Prefeitura de Sorocaba/PEB Matemática – adaptada) Segundo Carl B. Boyer (2010), em seu livro História da Matemática, o autor de Os Elementos indica uma lista de cinco postulados e algumas noções comuns (ideias intuitivas). Analise as seguintes afirmações: 1. Prolongar um segmento de reta continuamente em uma linha reta. 2. Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio. 3. A medida de um ângulo inscrito num arco é igual a metade da medida angular do arco interceptado do mesmo círculo. 4. Que, se uma reta cortando duas retas faz os ângulos interiores de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, as retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se desse lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos. 5. Um plano é perpendicular a outro plano se, e somente se, existir uma reta contida em um deles que seja ortogonal ao outro plano.
Segundo Boyer e de acordo com as suas leituras, de todas as afirmações acima apresentadas, as que são postulados presentes na obra Os elementos são apenas as que estão na opção
1, 3 e 5.
2, 3 e 4.
1, 2 e 4.
1, 2 e 3.
2, 3 e 5.
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Avaliação de Geometria
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Vamos analisar as afirmações com base nos postulados de Euclides em "Os Elementos": 1. Prolongar um segmento de reta continuamente em uma linha reta. — Este é um dos postulados clássicos de Euclides. 2. Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio. — Também é um postulado clássico de Euclides. 3. A medida de um ângulo inscrito num arco é igual a metade da medida angular do arco interceptado do mesmo círculo. — Esta é uma propriedade da geometria dos círculos, mas não é um postulado de Euclides. 4. Se uma reta cortando duas retas faz os ângulos interiores de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, as retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se desse lado. — Este é o famoso postulado das paralelas de Euclides. 5. Um plano é perpendicular a outro plano se, e somente se, existir uma reta contida em um deles que seja ortogonal ao outro plano. — Esta é uma definição ou propriedade da geometria espacial, não um postulado de Euclides. Portanto, os postulados presentes em "Os Elementos" são as afirmações 1, 2 e 4. Resposta correta: 1, 2 e 4.

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Ao longo do percurso escolar, especialmente em Geografia, temos contato com muitos mapas e outros desenhos que utilizam um recurso bastante propício para representações de coisas grandes demais ou pequenas demais: a escala. Do ponto de vista da Matemática e das construções geométricas, a escala é uma relação entre duas dimensões lineares que guardam, entre si, uma proporção que permite desenhar um objeto pequeno ou grande demais com tamanhos que possamos enxergar em nosso campo visual natural. Isto é, conseguimos representar as dimensões reais de objetos por meio de desenhos ou construções que estão ligados, __________, por uma _________ com o objeto original. Assim, outros dois conceitos muito presentes ao se trabalhar com escalas são os de ________, que pode ser entendida como divisão ou relação de tamanho entre grandezas, e _________, que é a relação de igualdade entre as partes de uma grandeza.
Analisando-se esse excerto, pode-se afirmar que as palavras ou expressões que melhor completam as lacunas são, nessa ordem:
de forma racional – proporcionalmente – razão – proporção.
proporcionalmente – proporção – razão – razão.
geometricamente – razão – proporção – proporção.
proporcionalmente – razão – razão – proporção.
racionalmente – razão – proporcionalmente – proporção.

Os triângulos e quadriláteros são polígonos utilizados como base para muitos outros conceitos e abstrações da Geometria. Alguns aspectos específicos dessas figuras podem ser interessantes em eventos de construção ou desenhos geométricos. Considere as seguintes sentenças em relação aos triângulos e quadriláteros: (1) Num triângulo, a medida de um lado é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados. (2) O triângulo equilátero é um tipo de triângulo isósceles. (3) Os pontos notáveis de um triângulo dependem, apenas, de um dos vértices para serem construídos. (4) Os quadriláteros paralelogramos e trapézios são diferenciados pela quantidade de ângulos congruentes e opostos. (5) Um losango é, ao mesmo tempo, um paralelogramo e um retângulo. (6) Trapézios são os quadriláteros convexos com apenas um par de lados paralelos. A soma dos números que acompanham apenas as sentenças verdadeiras é:
12.
3.
9.
6.
5.

A chamada Geometria Euclidiana (e também as suas ramificações – Plana, Espacial e Analítica) considera e está baseada em proposições que devem ser aceitas, assim como 'dogmas', sem, necessariamente, serem provadas, mas apenas enunciadas: são os axiomas e os postulados. São conceitos matemáticos que não necessitam de demonstração para serem verdadeiros, pois fazem parte de um consenso da comunidade que os utiliza.
Em relação aos axiomas e postulados propostos por Euclides e seus discípulos, podemos afirmar que:
Representam a realidade concreta e, por isso, podem ser representados no mundo material.
Limitam-se ao espaço bidimensional e não podem ser considerados nos espaços uni e tridimensional.
Trazem uma definição matemática sobre figuras e conceitos não euclidianos.
Foram obtidos a partir de experiências e observações.
Dão suporte ao método lógico-dedutivo para os conceitos, demonstrações e provas da Geometria Euclidiana.

Considere os vetores u=(5,4,1),v=(3,-4,1) e w=(1,-2,3).
Assinale a alternativa correta.
Todos os vetores são ortogonais dois a dois.
u e v são ortogonais, u e w não são ortogonais e v e w também não são ortogonais.
Não existem pares de vetores ortogonais entre u,v e w.
u e v não são ortogonais, u e w também não são ortogonais e v e w são ortogonais.
u e v são ortogonais, u e w também são ortogonais e v e w não são ortogonais.

Os egípcios e os mesopotâmicos já detinham muito conhecimento sobre vários aspectos da Geometria, antes mesmo da palavra ser criada, mas foram os gregos que deram um passo à frente na sistematização desses conhecimentos, acrescentando outros conceitos, definições e métodos expressivamente rigorosos de demonstração e validação.
Nesse sentido, analise as seguintes afirmacoes: I. A Geometria experimental dos povos mediterrâneos (povos ligados à região do mar Mediterrâneo), apesar de diversificada, carecia de organização, de registros e demonstrações sobre os fundamentos matemáticos subjacentes a cada ideia. II. Os gregos não conseguiram avançar muito na sistematização dos conhecimentos geométricos acumulados por egípcios e mesopotâmicos, pois as técnicas agrícolas e as que eram empregadas nas construções não eram apoiadas em nenhuma metodologia lógico-matemática. III. Euclides, a partir do método dedutivo axiomático, pôde criar, demonstrar, provar e sistematizar grande parte dos conhecimentos e das técnicas geométricas dos povos antigos, especialmente os mediterrâneos. Podemos concluir que as afirmações verdadeiras sobre esses aspectos da Geometria na Antiguidade estão em:
I, II e III.
II e III.
Apenas III.
I.
I e III.

Considere o triângulo ABC de vértices A(1,1),B(4,1) e C(3,2). Sejam r,s e t as retas formadas pelos lados AB,AC e BC do triângulo, respectivamente, e mr,ms e mt seus respectivos coeficientes angulares.
O valor de mr+2ms-3mt é
4
2
0
3
-5

De origem asiática, o Tangram e o Origami são muito conhecidos em todo o mundo, seja nas brincadeiras em qualquer idade, na arte ou mesmo em situações de ensino e de aprendizagem. De origem chinesa, o Tangram é um quebra-cabeça milenar formado por sete peças, sendo: um paralelogramo, um quadrado e cinco triângulos retângulos (dois grandes, dois pequenos e um médio). De origem japonesa, a tradicional, secular e belíssima manipulação do papel por meio de dobras faz do Origami uma técnica que permite aliar desde conhecimentos básicos de figuras planas e ângulos até sofisticadas formas de se representar sólidos geométricos, elementos da natureza ou construções humanas.
Sobre algumas possibilidades de se utilizar o Tangram e o Origami como recursos pedagógicos em sala de aula, são feitas as seguintes afirmações: I - Os alunos devem ser incentivados a combinarem as sete peças do Tangram, sem sobrepô-las, possibilitando a formação de diferentes formas. II - Por se tratar de uma arte, com o Origami, não se consegue trabalhar noções axiomáticas das construções geométricas subjacentes. III - Com o Tangram e o Origami, há oportunidades variadas para o ensino e a aprendizagem de Matemática e de Geometria Euclidiana Plana que vão além das construções, passando por situações de investigação e recreação. Analisando-se as afirmações feitas, pode-se concluir que estão corretas
Apenas III.
I e III.
I, II e III.
II e III.
I e II.

(INEP/2016/Enem) É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos para produzirem, por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma de suas obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada. Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem obtidos pelo artista plástico?
Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas.
Quadrados, apenas.
Triângulos e quadrados, apenas.
Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas.
Triângulos, quadrados e trapézios, apenas.

(IADES/2017/ Correios/Técnico em Segurança do Trabalho Júnior). A arquitetura e o espaço que vai acomodar a sala de jantar, assim como a utilização do espaço pela família, são fatores que devem ser considerados no momento de escolha da mesa; A mesa redonda oferece mais intimidade e mais proximidade visual e facilita a inserção de “lugares extras”, quando necessário; 0,90 m de diâmetro comporta 4 pessoas e, a cada 20 cm de diâmetro, acrescentam-se duas pessoas. Disponível em: . Acesso em: 14 nov. 2017, adaptado.
Com base nesses dados, quantas pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa com 1,50 m de diâmetro?
14.
8
10.
6.
12.

A interseção dos planos α1:x+2y-z=6, α2:2x-y+3z= -13 e α3:3x - 2y+3z= -16 é:
O ponto (0,4,-3)
O ponto (2,0,4)
A reta de equações paramétricas x=1+2t, y=4-7t e z=-3+5t
A reta de equações paramétricas x=1-2t, y=3+2t e z=-2-4t
O ponto (-1,2,-3)

(OMNI/2021/Prefeitura de Lençóis Paulista-SP/Agente Administrativo – adaptada) Consideremos três pontos quaisquer A, B e C em um plano π.
Analise as opções abaixo e escolha aquela que tem uma afirmação verdadeira.
A, B e C não podem estar todos no plano π.
A reta que passa pelos pontos A e B pode passar também pelo ponto C.
Entre os pontos A, B e C, sempre é possível desenhar um triângulo.
O segmento AB, ou seja, o segmento de reta que começa no ponto A e termina no ponto B, tem uma quantidade finita de pontos.
O ponto C nunca estará entre os pontos A e B.

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