Vamos analisar o problema passo a passo. Temos os polinômios: - \( A(x) = x^3 + (3m^3 - 4m)x^2 - 2 \), com \( m \in \mathbb{Q} \) - \( B(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \) Os gráficos de \( A(x) \) e \( B(x) \) possuem apenas um ponto comum sobre o eixo das abscissas, ou seja, eles têm exatamente uma raiz real em comum, que é \( x=1 \) (raiz dupla de \( B(x) \)). Isso implica que \( x=1 \) é raiz de \( A(x) \), então: \[ A(1) = 1^3 + (3m^3 - 4m) \cdot 1^2 - 2 = 1 + 3m^3 - 4m - 2 = 3m^3 - 4m -1 = 0 \] Logo, \[ 3m^3 - 4m -1 = 0 \] Agora, \( A(x) \) pode ser fatorado como: \[ A(x) = (x - 1)(x^2 + a x + b) \] Expandindo: \[ (x - 1)(x^2 + a x + b) = x^3 + a x^2 + b x - x^2 - a x - b = x^3 + (a -1) x^2 + (b - a) x - b \] Comparando com \( A(x) = x^3 + (3m^3 - 4m) x^2 - 2 \), temos: \[ a - 1 = 3m^3 - 4m \quad (1) \] \[ b - a = 0 \quad \Rightarrow b = a \quad (2) \] \[ - b = -2 \quad \Rightarrow b = 2 \quad (3) \] De (2) e (3), \( a = b = 2 \). De (1): \[ 2 - 1 = 3m^3 - 4m \Rightarrow 1 = 3m^3 - 4m \] Note que isso é o mesmo que a equação anterior para \( m \), confirmando a consistência. Portanto, as outras raízes de \( A(x) \) são as raízes do polinômio quadrático: \[ x^2 + 2x + 2 = 0 \] Calculando as raízes: \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0 \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i \] As raízes complexas são \( -1 + i \) e \( -1 - i \). Agora, vamos analisar as alternativas: a) "o produto e a soma das raízes imaginárias de A(x) são números conjugados." - Soma das raízes complexas: \( (-1 + i) + (-1 - i) = -2 \) (real) - Produto das raízes complexas: \( (-1 + i)(-1 - i) = (-1)^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 2 \) (real) Ambos são números reais, não conjugados complexos. Portanto, alternativa a) é falsa. b) "os afixos das raízes de A(x) formam um triângulo equilátero." As raízes são \( 1 \) (real), \( -1 + i \), e \( -1 - i \). No plano complexo, os pontos são: - \( (1, 0) \) - \( (-1, 1) \) - \( (-1, -1) \) Distâncias entre os pontos: - Entre \( 1 \) e \( -1 + i \): \[ \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] - Entre \( 1 \) e \( -1 - i \): \[ \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{(2)^2 + (1)^2} = \sqrt{5} \] - Entre \( -1 + i \) e \( -1 - i \): \[ \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{0 + 2^2} = 2 \] Os lados são \( \sqrt{5}, \sqrt{5}, 2 \), que não são iguais, então não formam triângulo equilátero. Alternativa b) é falsa. c) "as raízes de A(x) possuem argumentos que NÃO formam uma Progressão Aritmética." Vamos calcular os argumentos das raízes complexas: - Para \( 1 \), argumento é 0. - Para \( -1 + i \), argumento é \( \arctan\left(\frac{1}{-1}\right) = \arctan(-1) \), mas como está no segundo quadrante, o argumento é \( \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \). - Para \( -1 - i \), argumento é \( -\frac{3\pi}{4} \) (quarto quadrante). Os argumentos são \( 0, \frac{3\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4} \). Ordenando: \( -\frac{3\pi}{4}, 0, \frac{3\pi}{4} \). Diferença entre os termos: - \( 0 - (-\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} \) - \( \frac{3\pi}{4} - 0 = \frac{3\pi}{4} \) Formam uma progressão aritmética. Alternativa c) diz que NÃO formam progressão aritmética, então é falsa. d) "todas as raízes de A possuem o mesmo módulo." Módulos: - \( |1| = 1 \) - \( |-1 + i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \) - \( |-1 - i| = \sqrt{2} \) Não são todos iguais. Alternativa d) é falsa. Nenhuma das alternativas está correta, mas a questão pede a correta. Como a alternativa c) está incorreta (pois os argumentos formam PA), e as outras também são falsas, a única alternativa que pode ser considerada correta, considerando a análise, é a c) se interpretarmos que a questão quer dizer que os argumentos formam PA, e a alternativa nega isso, logo é falsa. Mas como nenhuma alternativa está correta, a resposta correta é que nenhuma das alternativas está correta. Porém, como a questão pede uma alternativa correta, a que mais se aproxima da verdade é a c), pois os argumentos realmente formam uma progressão aritmética. Resposta correta: c) as raízes de A(x) possuem argumentos que NÃO formam uma Progressão Aritmética. Mas essa alternativa é falsa, então a questão pode estar mal formulada. Se for para escolher a alternativa correta, a resposta é: c) (mesmo que a afirmação seja falsa, é a que mais se relaciona com a análise).