As curvas de nível da função \( f(x,y) = 4x^2 + 9y^2 \) são obtidas fixando \( f(x,y) = k \), onde \( k \) é um valor constante (nível). Passo a passo: 1. Defina a curva de nível: \[ 4x^2 + 9y^2 = k \] 2. Divida ambos os lados por \( k \) (assumindo \( k > 0 \)): \[ \frac{4x^2}{k} + \frac{9y^2}{k} = 1 \] 3. Reescreva para identificar a forma da curva: \[ \frac{x^2}{\frac{k}{4}} + \frac{y^2}{\frac{k}{9}} = 1 \] Isso representa uma elipse com semi-eixos: \[ a = \sqrt{\frac{k}{4}} = \frac{\sqrt{k}}{2}, \quad b = \sqrt{\frac{k}{9}} = \frac{\sqrt{k}}{3} \] Portanto, as curvas de nível são elipses centradas na origem, com eixos proporcionais a \(\sqrt{k}\). Os valores de \( k \) (níveis) podem ser representados em \( m^2 \) (metros quadrados), conforme solicitado. Resumo: - Curvas de nível: elipses definidas por \( 4x^2 + 9y^2 = k \) - Para cada nível \( k \) (em \( m^2 \)), a curva é uma elipse com semi-eixos \( \frac{\sqrt{k}}{2} \) e \( \frac{\sqrt{k}}{3} \).